ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-22. вариант - 2

### 1. Решите уравнение: **а)** $\log_3^2 x - \log_3 x - 6 = 0$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Сделаем замену переменной: пусть $\log_3 x = t$. Тогда уравнение принимает вид: $$ t^2 - t - 6 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 1, \\ t_1 \cdot t_2 = -6, \end{cases} \implies t_1 = 3, \quad t_2 = -2 $$ Вернемся к замене: 1) $\log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$; 2) $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \dfrac{1}{9}$. Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $\dfrac{1}{9}; 27$. --- **б)** $x^{\lg x} = 10\,000$ ОДЗ: $x > 0$. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $10$: $$ \lg\left(x^{\lg x}\right) = \lg 10\,000 $$ Используя свойство логарифма степени $\lg(a^b) = b \lg a$, получаем: $$ \lg x \cdot \lg x = \lg(10^4) $$ $$ \lg^2 x = 4 $$ Отсюда: $$ \lg x = 2 \quad \text{или} \quad \lg x = -2 $$ 1) $\lg x = 2 \implies x = 10^2 = 100$; 2) $\lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $0{,}01; 100$. --- ### 2. Решите систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_6 x + \log_6 y = 2, \\ x - y = -5. \end{cases} $$ ОДЗ системы: $$ \begin{cases} x > 0, \\ y > 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, применив формулу суммы логарифмов: $$ \log_6(xy) = 2 $$ По определению логарифма: $$ xy = 6^2 \implies xy = 36 $$ Из второго уравнения выразим $x$: $$ x = y - 5 $$ Подставим полученное выражение в уравнение $xy = 36$: $$ (y - 5)y = 36 $$ $$ y^2 - 5y - 36 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$ $$ y_1 = \dfrac{5 + 13}{2} = 9, \quad y_2 = \dfrac{5 - 13}{2} = -4 $$ Корень $y_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ ($y > 0$). Следовательно, подходит только $y = 9$. Находим значение $x$: $$ x = 9 - 5 = 4 $$ Значение $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$). Ответ: $(4; 9)$.