ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-21. вариант - 4

### 1. $\lg(3x - 10) = \lg(7 - 2x)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 3x - 10 > 0 \\ 7 - 2x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3x > 10 \\ 2x < 7 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \frac{10}{3} \\ x < 3,5 \end{cases} \iff 3\frac{1}{3} < x < 3,5 $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем их подлогарифмические выражения: $$ 3x - 10 = 7 - 2x $$ $$ 3x + 2x = 7 + 10 $$ $$ 5x = 17 $$ $$ x = 3,4 $$ Проверим принадлежность корня ОДЗ: $$ 3\frac{1}{3} \approx 3,33 < 3,4 < 3,5 $$ Значение $x = 3,4$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $3,4$. --- ### 2. $\log_{0,5}(x^2 - 4x + 20) = -5$ По определению логарифма: $$ x^2 - 4x + 20 = (0,5)^{-5} $$ Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, получаем: $$ (0,5)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 $$ Запишем и решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 4x + 20 = 32 $$ $$ x^2 - 4x - 12 = 0 $$ Найдем корни с помощью дискриминанта: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $$ $$ x_1 = \frac{4 + 8}{2} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 8}{2} = -2 $$ Так как выражение $x^2 - 4x + 20$ в ходе решения было приравнено к числу $32 > 0$, оба корня удовлетворяют условию существования логарифма. Ответ: $-2$; $6$. --- ### 3. $1 + \log_3(x - 2) = \log_3 16x - \log_3(x + 2)$ Найдем ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ 16x > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \\ x > -2 \end{cases} \iff x > 2 $$ Представим число $1$ как $\log_3 3$ и перенесем слагаемое $-\log_3(x + 2)$ в левую часть уравнения: $$ \log_3 3 + \log_3(x - 2) + \log_3(x + 2) = \log_3 16x $$ Применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_3 (3 \cdot (x - 2)(x + 2)) = \log_3 16x $$ Используя формулу разности квадратов $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$, получаем: $$ \log_3 (3(x^2 - 4)) = \log_3 16x $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ 3(x^2 - 4) = 16x $$ $$ 3x^2 - 12 = 16x $$ $$ 3x^2 - 16x - 12 = 0 $$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$ D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2 $$ $$ x_1 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6 $$ $$ x_2 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ С учетом ОДЗ ($x > 2$): - $x = 6$ — подходит ($6 > 2$); - $x = -\frac{2}{3}$ — посторонний корень ($-\frac{2}{3} \leqslant 2$). Ответ: $6$.