ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-3. вариант - 1

1. Вычислите: а) Применяя свойство корня из произведения (если под знаком корня находится всё произведение $243 \cdot 32$): $$ \sqrt[5]{243 \cdot 32} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2^5} = 3 \cdot 2 = 6. $$ Если множитель $32$ записан вне знака корня, то вычисление выглядит так: $$ \sqrt[5]{243} \cdot 32 = \sqrt[5]{3^5} \cdot 32 = 3 \cdot 32 = 96. $$ в) Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$: $$ \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \cdot 24} = \sqrt[3]{3^2 \cdot (3 \cdot 8)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2^3} = 3 \cdot 2 = 6. $$ б) Преобразуем подкоренное выражение, выполнив деление: $$ \frac{128}{0,5} = \frac{128}{\frac{1}{2}} = 128 \cdot 2 = 256. $$ Так как $256 = 2^8$, находим значение корня: $$ \sqrt[8]{\frac{128}{0,5}} = \sqrt[8]{256} = \sqrt[8]{2^8} = 2. $$ г) Возведем произведение в степень по формуле $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $$ (-2\sqrt[4]{5})^4 = (-2)^4 \cdot (\sqrt[4]{5})^4. $$ Вычислим степени множителей: $(-2)^4 = 16$, а $(\sqrt[4]{5})^4 = 5$. Получаем: $$ 16 \cdot 5 = 80. $$ 2. Сравните числа $\sqrt{6}$ и $\sqrt[4]{35}$. Приведем корни к общему показателю $4$. Используем свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$ для $a \ge 0$: $$ \sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[4]{36}. $$ Так как функция $y = \sqrt[4]{x}$ монотонно возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и $36 > 35$, то: $$ \sqrt[4]{36} > \sqrt[4]{35}, $$ следовательно, $$ \sqrt{6} > \sqrt[4]{35}. $$ Ответ: 1. а) $6$ (или $96$, если $32$ вне корня); в) $6$; б) $2$; г) $80$. 2. $\sqrt{6} > \sqrt[4]{35}$.