ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-18. вариант - 4

1. Построим график функции $y = 2 \log_3 (x + 1)$. Область определения функции задается условием: $$x + 1 > 0 \implies x > -1$$ Таким образом, $D(y) = (-1; +\infty)$. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой графика. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = 2 \log_3 (x + 1)$ является строго возрастающей на всей области определения. График функции получается из графика $y = \log_3 x$ растяжением вдоль оси ординат в 2 раза и сдвигом влево на 1 единицу вдоль оси абсцисс. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $-\frac{2}{3}$ | $0$ | $2$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-2$ | $0$ | $2$ | $4$ | * При $x = -\frac{2}{3}$: $y = 2 \log_3 \left(-\frac{2}{3} + 1\right) = 2 \log_3 \frac{1}{3} = 2 \cdot (-1) = -2$; * При $x = 0$: $y = 2 \log_3 (0 + 1) = 2 \log_3 1 = 2 \cdot 0 = 0$; * При $x = 2$: $y = 2 \log_3 (2 + 1) = 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2$; * При $x = 8$: $y = 2 \log_3 (8 + 1) = 2 \log_3 9 = 2 \cdot 2 = 4$. По полученным точкам строим плавную возрастающую кривую, приближающуюся к прямой $x = -1$ при $x \to -1$. 2. Найдем промежуток, на котором наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 4. Так как функция $y = 2 \log_3 (x + 1)$ непрерывна и строго возрастает на всей области определения, наименьшее значение она принимает на левом конце промежутка, а наибольшее — на правом. Найдем значения аргумента $x$: * Для наименьшего значения $y = 0$: $$2 \log_3 (x + 1) = 0$$ $$\log_3 (x + 1) = 0$$ $$x + 1 = 3^0$$ $$x + 1 = 1 \implies x = 0$$ * Для наибольшего значения $y = 4$: $$2 \log_3 (x + 1) = 4$$ $$\log_3 (x + 1) = 2$$ $$x + 1 = 3^2$$ $$x + 1 = 9 \implies x = 8$$ Следовательно, функция принимает наименьшее значение 0 и наибольшее значение 4 на отрезке $[0; 8]$. Ответ: $[0; 8]$. 3. Найдем, при каких значениях аргумента $x$ значения функции меньше 2. Составим и решим неравенство: $$y < 2$$ $$2 \log_3 (x + 1) < 2$$ $$\log_3 (x + 1) < 1$$ Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется при переходе к подлогарифмическим выражениям. Учитывая область определения логарифма ($x + 1 > 0$), получаем двойное неравенство: $$0 < x + 1 < 3^1$$ $$0 < x + 1 < 3$$ Вычтем 1 из всех частей неравенства: $$-1 < x < 2$$ Ответ: при $x \in (-1; 2)$.