ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-18. вариант - 3

1. Для построения графика функции $y = 3 - 3\log_3 x$: * Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$. * Прямая $x = 0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика. * Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $\log_3 x$ возрастает на $(0; +\infty)$, а функция $y = 3 - 3\log_3 x$ монотонно убывает на всей области определения за счёт отрицательного коэффициента перед логарифмом. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $6$ | $3$ | $0$ | $-3$ | Вычисления: * при $x = \frac{1}{3}$: $y = 3 - 3\log_3\left(\frac{1}{3}\right) = 3 - 3 \cdot (-1) = 6$; * при $x = 1$: $y = 3 - 3\log_3 1 = 3 - 3 \cdot 0 = 3$; * при $x = 3$: $y = 3 - 3\log_3 3 = 3 - 3 \cdot 1 = 0$ (точка пересечения с осью $Ox$); * при $x = 9$: $y = 3 - 3\log_3 9 = 3 - 3 \cdot 2 = -3$. По нанесённым точкам строим плавную убывающую кривую, приближающуюся к оси $Oy$ при $x \to 0$. 2. Функция $y = 3 - 3\log_3 x$ монотонно убывает на всей области определения. Следовательно, на искомом отрезке $[x_1; x_2]$ наибольшее значение она принимает в левом конце, а наименьшее — в правом. Найдём значение $x$, при котором $y = 3$: $$3 - 3\log_3 x = 3$$ $$-3\log_3 x = 0$$ $$\log_3 x = 0$$ $$x = 3^0 = 1$$ Найдём значение $x$, при котором $y = -3$: $$3 - 3\log_3 x = -3$$ $$-3\log_3 x = -6$$ $$\log_3 x = 2$$ $$x = 3^2 = 9$$ Таким образом, наибольшее значение $3$ и наименьшее значение $-3$ функция принимает на отрезке $[1; 9]$. Ответ: $[1; 9]$. 3. Значения функции больше нуля, если $y > 0$. Составим и решим неравенство: $$3 - 3\log_3 x > 0$$ $$-3\log_3 x > -3$$ Разделим обе части неравенства на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный: $$\log_3 x < 1$$ Учитывая, что основание логарифма $3 > 1$, и принимая во внимание область определения ($x > 0$), получаем систему: $$\begin{cases} x < 3^1 \\ x > 0 \end{cases}$$ $$0 < x < 3$$ Ответ: $x \in (0; 3)$.