ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-17. вариант - 4

### 1. Вычислите $\log_{3/4} 1 \cdot \lg 135 + \left(\frac{1}{3}\right)^{-2 + \log_3 5}$ 1) По свойству логарифма $\log_a 1 = 0$ при любом допустимом основании $a$: $$\log_{3/4} 1 = 0$$ Тогда первое слагаемое равно: $$0 \cdot \lg 135 = 0$$ 2) Преобразуем второе слагаемое, представив основание степени в виде $\frac{1}{3} = 3^{-1}$: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2 + \log_3 5} = \left(3^{-1}\right)^{-2 + \log_3 5} = 3^{-(-2 + \log_3 5)} = 3^{2 - \log_3 5}$$ По свойствам степеней и основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $$3^{2 - \log_3 5} = \frac{3^2}{3^{\log_3 5}} = \frac{9}{5} = 1,8$$ 3) Сложим полученные результаты: $$0 + 1,8 = 1,8$$ **Ответ:** $1,8$ --- ### 2. Решите уравнение: **a)** $\log_{\pi} x = 0$ Область допустимых значений: $x > 0$. По определению логарифма: $$x = \pi^0$$ Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно $1$: $$x = 1$$ Значение $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). **Ответ:** $1$ **b)** $\log_x 2 = -\frac{1}{5}$ Область допустимых значений для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. По определению логарифма: $$x^{-\frac{1}{5}} = 2$$ Возведём обе части уравнения в степень $-5$: $$\left(x^{-\frac{1}{5}}\right)^{-5} = 2^{-5}$$ $$x = \frac{1}{2^5}$$ $$x = \frac{1}{32}$$ Значение $x = \frac{1}{32}$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $\frac{1}{32}$ --- ### 3. Решите неравенство $3^{0,5x} \leqslant 6$ Прологарифмируем обе части неравенства по основанию $3$. Так как основание $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$\log_3 \left(3^{0,5x}\right) \leqslant \log_3 6$$ Используя свойство логарифма $\log_a (a^k) = k$: $$0,5x \leqslant \log_3 6$$ $$\frac{1}{2}x \leqslant \log_3 6$$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$x \leqslant 2\log_3 6$$ Преобразуем правую часть: $2\log_3 6 = \log_3 (6^2) = \log_3 36$. $$x \leqslant \log_3 36$$ В виде числового промежутка: $x \in (-\infty; \log_3 36]$. **Ответ:** $(-\infty; \log_3 36]$ (или $(-\infty; 2\log_3 6]$)