ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-18. вариант - 2

**1.** Построим график функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x + 2$. * Область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$. * График функции получается параллельным переносом графика базовой логарифмической функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. * Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения. * Вертикальной асимптотой графика является прямая $x = 0$ (ось ординат). Составим таблицу значений аргумента $x$ и функции $y$: | $x$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $4$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | Нанесем полученные точки $\left(\frac{1}{4}; 4\right)$, $\left(\frac{1}{2}; 3\right)$, $(1; 2)$, $(2; 1)$, $(4; 0)$, $(8; -1)$ на координатную плоскость и соединим их плавной линией, приближающейся к оси $Oy$ при $x \to 0$. --- **2.** Найдем промежуток, на котором функция принимает наибольшее значение, равное $2$, и наименьшее значение, равное $-1$. Так как функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x + 2$ непрерывна и строго убывает на промежутке $(0; +\infty)$, на некотором отрезке $[x_1; x_2]$ она принимает наибольшее значение в левом конце отрезка, а наименьшее значение — в правом: $$y_{\text{наиб}} = y(x_1) = 2, \quad y_{\text{наим}} = y(x_2) = -1$$ 1) Найдем левую границу $x_1$: $$\log_{\frac{1}{2}} x_1 + 2 = 2$$ $$\log_{\frac{1}{2}} x_1 = 0$$ $$x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$$ 2) Найдем правую границу $x_2$: $$\log_{\frac{1}{2}} x_2 + 2 = -1$$ $$\log_{\frac{1}{2}} x_2 = -3$$ $$x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$ Следовательно, значения функции принадлежат отрезку $[-1; 2]$ при $x \in [1; 8]$. **Ответ:** $[1; 8]$. --- **3.** Найдем, при каких значениях аргумента $x$ значения функции меньше 0. Составим и решим неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}} x + 2 < 0$$ $$\log_{\frac{1}{2}} x < -2$$ Представим число $-2$ в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$: $$-2 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{2}} 4$$ Тогда неравенство принимает вид: $$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} 4$$ Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ убывает, поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$x > 4$$ Условие $x > 4$ полностью удовлетворяет области определения функции ($x > 0$). **Ответ:** $x \in (4; +\infty)$.