ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-17. вариант - 3

**1.** Вычислим значение выражения по действиям: 1) Так как $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, получаем: $$ \log_{0,2}\left(\frac{1}{5}\right) = \log_{\frac{1}{5}}\left(\frac{1}{5}\right) = 1 $$ 2) Так как $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, имеем: $$ \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3 = \frac{1}{\frac{1}{2}}\log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 $$ 3) Преобразуем степень, учитывая, что $128 = 2^7$, и применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 128^{\frac{1}{7} \log_2 7} = (2^7)^{\frac{1}{7} \log_2 7} = 2^{7 \cdot \frac{1}{7} \log_2 7} = 2^{\log_2 7} = 7 $$ 4) Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ 1 \cdot 2 + 7 = 2 + 7 = 9 $$ Ответ: $9$. --- **2.** a) $\lg x = -1$ Область допустимых значений: $x > 0$. По определению десятичного логарифма: $$ x = 10^{-1} $$ $$ x = \frac{1}{10} = 0,1 $$ Корень удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $0,1$. b) $\log_x 256 = 8$ Область допустимых значений: $x > 0$, $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^8 = 256 $$ Так как $256 = 2^8$, получаем: $$ x^8 = 2^8 $$ Уравнение четной степени имеет корни $x = 2$ и $x = -2$. С учетом ОДЗ ($x > 0$) условию удовлетворяет только $x = 2$. Ответ: $2$. --- **3.** Решим показательное неравенство: $$ 6^{-x} \geqslant 15 $$ Прологарифмируем обе части неравенства по основанию $6$. Так как основание $6 > 1$, функция $y = \log_6 t$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ \log_6 (6^{-x}) \geqslant \log_6 15 $$ Используя свойство $\log_a (a^k) = k$, получаем: $$ -x \geqslant \log_6 15 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ x \leqslant -\log_6 15 $$ В виде числового промежутка: $x \in (-\infty; -\log_6 15]$. Ответ: $x \leqslant -\log_6 15$.