ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-17. вариант - 2

### Задание 1 Вычислим значение выражения: $$ \lg 10 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 125 + 31^{\log_{31} 8} $$ 1. По определению десятичного логарифма: $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$. 2. Преобразуем второй логарифм, представив основание и подлогарифмическое выражение в виде степеней числа $5$: $$ \log_{\frac{1}{5}} 125 = \log_{5^{-1}} (5^3) = \frac{3}{-1} \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 $$ 3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ (при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$): $$ 31^{\log_{31} 8} = 8 $$ 4. Подставим найденные значения в исходное выражение: $$ 1 \cdot (-3) + 8 = -3 + 8 = 5 $$ **Ответ:** $5$. --- ### Задание 2 **а)** $\log_{25} x = \frac{1}{2}$ Область допустимых значений: $x > 0$. По определению логарифма: $$ x = 25^{\frac{1}{2}} $$ $$ x = \sqrt{25} $$ $$ x = 5 $$ Значение $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $5$. --- **б)** $\log_x 1000 = 3$ Область допустимых значений: $x > 0$, $x \neq 1$. По определению логарифма: $$ x^3 = 1000 $$ Так как $1000 = 10^3$: $$ x^3 = 10^3 $$ $$ x = 10 $$ Значение $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $10$. --- ### Задание 3 Решим показательное неравенство: $$ 0,5^x < 3 $$ Представим основание $0,5$ в виде степени числа $2$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x < 3 $$ $$ 2^{-x} < 3 $$ Прологарифмируем обе части неравенства по основанию $2$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2 t$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ \log_2 (2^{-x}) < \log_2 3 $$ $$ -x < \log_2 3 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, меняя знак неравенства на противоположный: $$ x > -\log_2 3 $$ Заметим, что по свойствам логарифма: $$ -\log_2 3 = \log_{2^{-1}} 3 = \log_{0,5} 3 $$ Таким образом, решением неравенства является промежуток: $$ x \in (-\log_2 3; +\infty) $$ **Ответ:** $x > -\log_2 3$ (или $x > \log_{0,5} 3$).