ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-16. вариант - 4

### 1. Решите неравенство $\sqrt{2^{-x}} \leqslant 128$ Преобразуем обе части неравенства к степеням с основанием $2$: $$\sqrt{2^{-x}} = \left(2^{-x}\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{-\frac{x}{2}}$$ $$128 = 2^7$$ Получаем неравенство: $$2^{-\frac{x}{2}} \leqslant 2^7$$ Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$-\frac{x}{2} \leqslant 7$$ Умножим обе части на $-2$, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $$x \geqslant -14$$ Ответ: $x \in [-14; +\infty)$. --- ### 2. Решите неравенство $1,25^{8x-5} > 0,8^{3x+2}$ Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$$ $$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-1}$$ Подставим полученные выражения в неравенство: $$\left(\frac{5}{4}\right)^{8x-5} > \left(\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}\right)^{3x+2}$$ $$\left(\frac{5}{4}\right)^{8x-5} > \left(\frac{5}{4}\right)^{-(3x+2)}$$ Так как основание степени $\frac{5}{4} = 1,25 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$8x - 5 > - (3x + 2)$$ $$8x - 5 > -3x - 2$$ $$8x + 3x > 5 - 2$$ $$11x > 3$$ $$x > \frac{3}{11}$$ Ответ: $x \in \left(\frac{3}{11}; +\infty\right)$. --- ### 3. Решите неравенство $5^{\frac{x^2-3x-2}{6-x}} \geqslant 0,2$ Представим правую часть в виде степени с основанием $5$: $$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$$ Неравенство принимает вид: $$5^{\frac{x^2-3x-2}{6-x}} \geqslant 5^{-1}$$ Поскольку основание $5 > 1$, переходим к показателям с сохранением знака неравенства: $$\frac{x^2-3x-2}{6-x} \geqslant -1$$ Перенесем $-1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{x^2-3x-2}{6-x} + 1 \geqslant 0$$ $$\frac{x^2-3x-2 + (6-x)}{6-x} \geqslant 0$$ $$\frac{x^2-4x+4}{6-x} \geqslant 0$$ Свернем числитель по формуле квадрата разности: $$\frac{(x-2)^2}{6-x} \geqslant 0$$ Проанализируем полученное выражение: 1. Выражение в числителе $(x-2)^2 \geqslant 0$ при всех действительных $x$. 2. При $x = 2$ числитель равен нулю, а знаменатель $6 - 2 = 4 \ne 0$, то есть значение дроби равно $0$, что удовлетворяет знаку $\geqslant 0$. Значит, $x = 2$ является решением. 3. При $x \neq 2$ числитель строго положителен: $(x-2)^2 > 0$. Следовательно, дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель положителен: $$6 - x > 0$$ $$x < 6$$ Число $x = 2$ входит в промежуток $(-\infty; 6)$, поэтому объединением решений является весь интервал $x < 6$. Ответ: $x \in (-\infty; 6)$. --- ### 4. Решите неравенство $3 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x - 28 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} + 9 < 0$ Преобразуем степени к основанию $\frac{1}{3}$: $$\left(\frac{1}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x\right)^2$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x$$ Подставим в неравенство: $$3 \cdot \left(\left(\frac{1}{3}\right)^x\right)^2 - 28 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x + 9 < 0$$ Пусть $t = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $$3t^2 - \frac{28}{3}t + 9 < 0$$ Умножим обе части неравенства на $3$: $$9t^2 - 28t + 27 < 0$$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена $9t^2 - 28t + 27$: $$D = (-28)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 27 = 784 - 972 = -188$$ Так как дискриминант $D < 0$, а старший коэффициент $a = 9 > 0$, парабола $y = 9t^2 - 28t + 27$ целиком лежит выше оси $Ot$, то есть при любых действительных значениях $t$ выполняется строгое неравенство: $$9t^2 - 28t + 27 > 0$$ Следовательно, неравенство $9t^2 - 28t + 27 < 0$ не имеет решений. Ответ: решений нет.