ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-16. вариант - 3

### 1. Решите неравенство: $$ \sqrt{6^x} \geqslant 216 $$ Представим обе части неравенства в виде степени с основанием $6$: $$ \left(6^x\right)^{\frac{1}{2}} \geqslant 6^3 $$ $$ 6^{\frac{x}{2}} \geqslant 6^3 $$ Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция $y = 6^t$ возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ \frac{x}{2} \geqslant 3 $$ $$ x \geqslant 6 $$ **Ответ:** $x \in [6; +\infty)$ --- ### 2. Решите неравенство: $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{5x+2} < 0,6^{3x-10} $$ Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и запишем её через основание $\frac{5}{3}$: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}$. Тогда правая часть примет вид: $$ 0,6^{3x-10} = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\right)^{3x-10} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-(3x-10)} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-3x+10} $$ Исходное неравенство запишется так: $$ \left(\frac{5}{3}\right)^{5x+2} < \left(\frac{5}{3}\right)^{-3x+10} $$ Так как основание $\frac{5}{3} > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 5x + 2 < -3x + 10 $$ $$ 5x + 3x < 10 - 2 $$ $$ 8x < 8 $$ $$ x < 1 $$ **Ответ:** $x \in (-\infty; 1)$ --- ### 3. Решите неравенство: $$ 7^{x^2-x+3} \leqslant \left(\frac{1}{7}\right)^{5x} $$ Приведем правую часть к основанию $7$: $\left(\frac{1}{7}\right)^{5x} = \left(7^{-1}\right)^{5x} = 7^{-5x}$. Получаем неравенство: $$ 7^{x^2-x+3} \leqslant 7^{-5x} $$ Так как основание $7 > 1$, знак неравенства не меняется: $$ x^2 - x + 3 \leqslant -5x $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 4x + 3 \leqslant 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $$ x_1 = -3, \quad x_2 = -1 $$ Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $$ -3 \leqslant x \leqslant -1 $$ **Ответ:** $x \in [-3; -1]$ --- ### 4. Решите неравенство: $$ 4 \cdot 4^{-x} - 9 \cdot 2^{-x} + 2 > 0 $$ Заметим, что $4^{-x} = \left(2^2\right)^{-x} = \left(2^{-x}\right)^2$. Неравенство принимает вид: $$ 4 \cdot \left(2^{-x}\right)^2 - 9 \cdot 2^{-x} + 2 > 0 $$ Пусть $t = 2^{-x}$, причем $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ 4t^2 - 9t + 2 > 0 $$ Найдем корни уравнения $4t^2 - 9t + 2 = 0$: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ $$ t_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2 $$ Решением неравенства $4t^2 - 9t + 2 > 0$ является объединение промежутков: $t < \frac{1}{4}$ или $t > 2$. С учетом условия $t > 0$ получаем: $0 < t < \frac{1}{4}$ или $t > 2$. Вернемся к переменной $x$: 1. $2^{-x} < \frac{1}{4}$ $$ 2^{-x} < 2^{-2} $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ -x < -2 $$ $$ x > 2 $$ 2. $2^{-x} > 2$ $$ 2^{-x} > 2^1 $$ $$ -x > 1 $$ $$ x < -1 $$ Объединяя оба случая, получаем: $x < -1$ или $x > 2$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$