ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-16. вариант - 2

### 1. Решим неравенство: $$ 3^x > \frac{1}{243} $$ Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $3$. Так как $243 = 3^5$, то $\frac{1}{243} = 3^{-5}$: $$ 3^x > 3^{-5} $$ Показательная функция $y = 3^t$ монотонно возрастает, так как основание степени $3 > 1$. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $$ x > -5 $$ **Ответ:** $x \in (-5; +\infty)$. --- ### 2. Решим неравенство: $$ \left(\frac{5}{7}\right)^{3x+4} \geqslant \frac{25}{49} $$ Представим правую часть неравенства как степень с основанием $\frac{5}{7}$: $$ \frac{25}{49} = \left(\frac{5}{7}\right)^2 $$ Тогда неравенство принимает вид: $$ \left(\frac{5}{7}\right)^{3x+4} \geqslant \left(\frac{5}{7}\right)^2 $$ Показательная функция $y = \left(\frac{5}{7}\right)^t$ монотонно убывает, так как основание степени $0 < \frac{5}{7} < 1$. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 3x + 4 \leqslant 2 $$ Решим линейное неравенство: $$ 3x \leqslant 2 - 4 $$ $$ 3x \leqslant -2 $$ $$ x \leqslant -\frac{2}{3} $$ **Ответ:** $x \in \left(-\infty; -\frac{2}{3}\right]$. --- ### 3. Решим неравенство: $$ 7^{\frac{x^2 - 2x - 8}{x+6}} \geqslant 1 $$ Представим число $1$ как $7^0$: $$ 7^{\frac{x^2 - 2x - 8}{x+6}} \geqslant 7^0 $$ Так как основание степени $7 > 1$, функция $y = 7^t$ возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ \frac{x^2 - 2x - 8}{x+6} \geqslant 0 $$ Разложим квадратный трехчлен в числителе на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2 $$ $$ x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4 $$ Следовательно, $x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)$. Неравенство принимает вид: $$ \frac{(x + 2)(x - 4)}{x + 6} \geqslant 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули числителя: $x = -2$, $x = 4$ (входят в решение, точки закрашенные). 2. Нули знаменателя: $x = -6$ (не входит в решение, так как делить на ноль нельзя, точка выколотая). Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах: - при $x \in (4; +\infty)$: знак $+$ (например, при $x = 5$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$); - при $x \in [-2; 4]$: знак $-$ (например, при $x = 0$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$); - при $x \in (-6; -2]$: знак $+$ (например, при $x = -3$: $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$); - при $x \in (-\infty; -6)$: знак $-$ (например, при $x = -7$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$). Нам подходят интервалы, где выражение неотрицательно ($\geqslant 0$). **Ответ:** $x \in (-6; -2] \cup [4; +\infty)$. --- ### 4. Решим неравенство: $$ 4^{2x} - 5 \cdot 4^x + 4 < 0 $$ Перепишем $4^{2x}$ как $(4^x)^2$: $$ (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x + 4 < 0 $$ Введем замену переменной: пусть $t = 4^x$, причем $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 5t + 4 < 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ по теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 5 \\ t_1 \cdot t_2 = 4 \end{cases} \implies t_1 = 1, \quad t_2 = 4 $$ График функции $y = t^2 - 5t + 4$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями: $$ 1 < t < 4 $$ Условие $t > 0$ выполняется. Возвращаемся к замене $t = 4^x$: $$ 1 < 4^x < 4 $$ $$ 4^0 < 4^x < 4^1 $$ Поскольку основание $4 > 1$, функция $y = 4^x$ монотонно возрастает, знаки двойного неравенства сохраняются: $$ 0 < x < 1 $$ **Ответ:** $x \in (0; 1)$.