ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-13. вариант - 4

1. Функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1$ определена на $\mathbb{R}$. Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ является убывающей на всей числовой прямой, а значит, и функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[-2; 1]$. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает на левом конце отрезка, а наименьшего — на правом: $$y_{\text{наиб}} = f(-2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5;$$ $$y_{\text{наим}} = f(1) = \left(\frac{1}{2}\right)^1 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = 1{,}5.$$ **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 5$, $y_{\text{наим}} = 1{,}5$. 2. Пусть искомый отрезок имеет вид $[a; b]$. Так как функция $f(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1$ строго убывает на всей области определения, на отрезке $[a; b]$ она принимает наибольшее значение в левом конце ($x = a$), а наименьшее — в правом ($x = b$). Составим и решим уравнения: 1) Для наибольшего значения: $$f(a) = 17$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^a + 1 = 17$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^a = 16$$ $$2^{-a} = 2^4$$ $$-a = 4 \implies a = -4.$$ 2) Для наименьшего значения: $$f(b) = 3$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^b + 1 = 3$$ $$\left(\frac{1}{2}\right)^b = 2$$ $$2^{-b} = 2^1$$ $$-b = 1 \implies b = -1.$$ Таким образом, функция принимает наибольшее значение, равное 17, и наименьшее значение, равное 3, на отрезке $[-4; -1]$. **Ответ:** $[-4; -1]$. 3. Решим уравнение: $$\left(\frac{1}{2}\right)^x + 1 = 3x + 6.$$ Рассмотрим функции, стоящие в левой и правой частях уравнения: - Функция $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 1$ является строго убывающей на $\mathbb{R}$; - Функция $y = 3x + 6$ является линейной с угловым коэффициентом $k = 3 > 0$, то есть строго возрастающей на $\mathbb{R}$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня. Подбором найдем значение $x = -1$: - левая часть: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} + 1 = 2 + 1 = 3$; - правая часть: $3 \cdot (-1) + 6 = -3 + 6 = 3$. Получили верное числовое равенство $3 = 3$, следовательно, $x = -1$ — единственный корень уравнения. **Ответ:** $x = -1$.