ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-14. вариант - 2

1. $8^x = 512$ Представим правую часть уравнения как степень с основанием $8$: $$ 512 = 8^3 $$ Получаем: $$ 8^x = 8^3 $$ Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели: $$ x = 3 $$ Ответ: $3$. 2. $3^{2x+7} = 243$ Представим число $243$ в виде степени с основанием $3$: $$ 243 = 3^5 $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ 3^{2x+7} = 3^5 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x + 7 = 5 $$ $$ 2x = 5 - 7 $$ $$ 2x = -2 $$ $$ x = -1 $$ Ответ: $-1$. 3. $2^{x^2 - x - 1} = 32$ Представим число $32$ как степень числа $2$: $$ 32 = 2^5 $$ Уравнение примет вид: $$ 2^{x^2 - x - 1} = 2^5 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x^2 - x - 1 = 5 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Ответ: $-2;\ 3$. 4. $5 \cdot (0,3)^x = 0,45$ Разделим обе части уравнения на $5$: $$ (0,3)^x = \frac{0,45}{5} $$ $$ (0,3)^x = 0,09 $$ Так как $0,09 = (0,3)^2$, перепишем уравнение: $$ (0,3)^x = (0,3)^2 $$ Приравниваем показатели: $$ x = 2 $$ Ответ: $2$. 5. $6^{x-2} - 6^{x-1} = -180$ Используя свойство степеней $6^{x-1} = 6^{x-2} \cdot 6^1$, вынесем за скобки общий множитель $6^{x-2}$: $$ 6^{x-2} \cdot (1 - 6^1) = -180 $$ $$ 6^{x-2} \cdot (1 - 6) = -180 $$ $$ 6^{x-2} \cdot (-5) = -180 $$ Разделим обе части уравнения на $-5$: $$ 6^{x-2} = \frac{-180}{-5} $$ $$ 6^{x-2} = 36 $$ Представим число $36$ как $6^2$: $$ 6^{x-2} = 6^2 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ x - 2 = 2 $$ $$ x = 2 + 2 $$ $$ x = 4 $$ Ответ: $4$.