ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-10. вариант - 4

**1.** Вычислите производную данной функции: а) $y = x^{-\frac{5}{8}} + \sqrt{x}$ Представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Тогда: $$ y = x^{-\frac{5}{8}} + x^{\frac{1}{2}} $$ Применим формулу дифференцирования степенной функции $(x^r)' = r x^{r-1}$ и правило производной суммы: $$ y' = \left(x^{-\frac{5}{8}}\right)' + \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = -\frac{5}{8} x^{-\frac{5}{8} - 1} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} $$ Запишем результат через корни или оставим в виде степеней: $$ y' = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = -\frac{5}{8} x^{-\frac{13}{8}} + \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$ (или $-\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$). --- б) $y = \sqrt[9]{x^7} - 7$ Запишем корень как степень с дробным показателем: $\sqrt[9]{x^7} = x^{\frac{7}{9}}$. Функция принимает вид: $$ y = x^{\frac{7}{9}} - 7 $$ Находим производную, учитывая, что производная постоянной равна нулю: $$ y' = \left(x^{\frac{7}{9}}\right)' - (7)' = \frac{7}{9} x^{\frac{7}{9} - 1} - 0 = \frac{7}{9} x^{-\frac{2}{9}} = \frac{7}{9\sqrt[9]{x^2}} $$ Ответ: $y' = \frac{7}{9} x^{-\frac{2}{9}}$ (или $\frac{7}{9\sqrt[9]{x^2}}$). --- в) $y = \frac{5\sqrt[5]{x^3} - 2}{x^{0,3}}$ Представим выражения с переменной в виде степеней: $\sqrt[5]{x^3} = x^{\frac{3}{5}} = x^{0,6}$. Разделим почленно числитель на знаменатель: $$ y = \frac{5x^{0,6} - 2}{x^{0,3}} = 5 \cdot \frac{x^{0,6}}{x^{0,3}} - \frac{2}{x^{0,3}} = 5x^{0,6 - 0,3} - 2x^{-0,3} = 5x^{0,3} - 2x^{-0,3} $$ Дифференцируем полученную разность: $$ y' = (5x^{0,3})' - (2x^{-0,3})' = 5 \cdot 0,3 x^{0,3 - 1} - 2 \cdot (-0,3) x^{-0,3 - 1} = 1,5 x^{-0,7} + 0,6 x^{-1,3} $$ В обыкновенных дробях выражение имеет вид: $$ y' = \frac{3}{2} x^{-\frac{7}{10}} + \frac{3}{5} x^{-\frac{13}{10}} = \frac{3}{2\sqrt[10]{x^7}} + \frac{3}{5\sqrt[10]{x^{13}}} $$ Ответ: $y' = 1,5 x^{-0,7} + 0,6 x^{-1,3}$ (или $\frac{3}{2} x^{-\frac{7}{10}} + \frac{3}{5} x^{-\frac{13}{10}}$). --- г) $y = 0,2(7 - 4x)^{\frac{5}{8}}$ Данная функция является сложной: $y = 0,2 \cdot u^{\frac{5}{8}}$, где $u = 7 - 4x$. Применим правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$: $$ y' = 0,2 \cdot \frac{5}{8} (7 - 4x)^{\frac{5}{8} - 1} \cdot (7 - 4x)' $$ Вычислим коэффициент и производную внутренней функции: $0,2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{8}$, $(7 - 4x)' = -4$. Подставим эти значения: $$ y' = \frac{1}{8} (7 - 4x)^{-\frac{3}{8}} \cdot (-4) = -\frac{4}{8} (7 - 4x)^{-\frac{3}{8}} = -\frac{1}{2} (7 - 4x)^{-\frac{3}{8}} = -\frac{1}{2\sqrt[8]{(7 - 4x)^3}} $$ Ответ: $y' = -\frac{1}{2} (7 - 4x)^{-\frac{3}{8}}$ (или $-\frac{1}{2\sqrt[8]{(7 - 4x)^3}}$). --- **2.** Скорость изменения функции $y(x)$ в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке: $v = y'(x_0)$. Дана функция: $$ y = \sqrt[4]{(8x + 9)^3} = (8x + 9)^{\frac{3}{4}} $$ 1) Найдём производную функции как производную сложной функции: $$ y' = \left((8x + 9)^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{3}{4}(8x + 9)^{\frac{3}{4} - 1} \cdot (8x + 9)' $$ Так как $(8x + 9)' = 8$, получаем: $$ y' = \frac{3}{4}(8x + 9)^{-\frac{1}{4}} \cdot 8 = 6(8x + 9)^{-\frac{1}{4}} = \frac{6}{\sqrt[4]{8x + 9}} $$ 2) Вычислим скорость изменения функции при $x = 9$: $$ y'(9) = \frac{6}{\sqrt[4]{8 \cdot 9 + 9}} = \frac{6}{\sqrt[4]{72 + 9}} = \frac{6}{\sqrt[4]{81}} $$ Так как $81 = 3^4$, то $\sqrt[4]{81} = 3$: $$ y'(9) = \frac{6}{3} = 2 $$ Ответ: 2.