ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 55

**а)** Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}>0 $$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases} \implies x \in [0; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. Введем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим $t$ в неравенство: $$ \frac{t - 2}{t^2 - 1} > 0 $$ $$ \frac{t - 2}{(t - 1)(t + 1)} > 0 $$ Так как $t \ge 0$, множитель $(t + 1)$ строго положителен при всех допустимых значениях $t$. Разделив обе части неравенства на $(t + 1) > 0$, получим равносильное неравенство: $$ \frac{t - 2}{t - 1} > 0 \quad \text{при } t \ge 0 $$ Применим метод интервалов для переменной $t \ge 0$: - Нуль числителя: $t = 2$; - Нуль знаменателя: $t = 1$. Расставим знаки выражения $\frac{t-2}{t-1}$ на луче $[0; +\infty)$: - на промежутке $[0; 1)$: знак «$+$»; - на интервале $(1; 2)$: знак «$-»$; - на интервале $(2; +\infty)$: знак «$+$». Следовательно: $$ \left[ \begin{aligned} & 0 \le t < 1 \\ & t > 2 \end{aligned} \right. $$ 3. Вернемся к переменной $x$: - $0 \le \sqrt{x} < 1 \iff 0 \le x < 1$; - $\sqrt{x} > 2 \iff x > 4$. **Ответ:** $x \in [0; 1) \cup (4; +\infty)$. --- **б)** Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{x}-3}{2-x}<0 $$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x \ge 0 \\ 2 - x \ne 0 \end{cases} \implies x \in [0; 2) \cup (2; +\infty) $$ 2. Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 2} > 0 $$ 3. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$: $$ \frac{t - 3}{t^2 - 2} > 0 $$ $$ \frac{t - 3}{(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} > 0 $$ Так как $t \ge 0$, выражение $(t + \sqrt{2}) > 0$. Неравенство равносильно следующему: $$ \frac{t - 3}{t - \sqrt{2}} > 0 \quad \text{при } t \ge 0 $$ Определим знаки дроби при $t \ge 0$: - на промежутке $[0; \sqrt{2})$: знак «$+$»; - на интервале $(\sqrt{2}; 3)$: знак «$-»$; - на интервале $(3; +\infty)$: знак «$+$». Получаем: $$ \left[ \begin{aligned} & 0 \le t < \sqrt{2} \\ & t > 3 \end{aligned} \right. $$ 4. Вернемся к переменной $x$: - $0 \le \sqrt{x} < \sqrt{2} \iff 0 \le x < 2$; - $\sqrt{x} > 3 \iff x > 9$. **Ответ:** $x \in [0; 2) \cup (9; +\infty)$. --- **в)** Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{-x}-2}{-2-x}>0 $$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} -x \ge 0 \\ -2 - x \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0] $$ 2. Умножим обе части неравенства на $-1$: $$ \frac{\sqrt{-x} - 2}{x + 2} < 0 $$ 3. Введем замену: пусть $t = \sqrt{-x}$, где $t \ge 0$. Тогда $-x = t^2$, то есть $x = -t^2$. Подставим в неравенство: $$ \frac{t - 2}{2 - t^2} < 0 $$ Умножим обе части на $-1$: $$ \frac{t - 2}{t^2 - 2} > 0 $$ $$ \frac{t - 2}{(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} > 0 $$ Так как $t \ge 0$, то $(t + \sqrt{2}) > 0$, и неравенство сводится к: $$ \frac{t - 2}{t - \sqrt{2}} > 0 \quad \text{при } t \ge 0 $$ Определим знаки на луче $[0; +\infty)$: - на промежутке $[0; \sqrt{2})$: знак «$+$»; - на интервале $(\sqrt{2}; 2)$: знак «$-»$; - на интервале $(2; +\infty)$: знак «$+$». Следовательно: $$ \left[ \begin{aligned} & 0 \le t < \sqrt{2} \\ & t > 2 \end{aligned} \right. $$ 4. Вернемся к переменной $x$: - $0 \le \sqrt{-x} < \sqrt{2} \iff 0 \le -x < 2 \iff -2 < x \le 0$; - $\sqrt{-x} > 2 \iff -x > 4 \iff x < -4$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 0]$. --- **г)** Решим неравенство: $$ \frac{\sqrt{-x}-3}{x+2}<0 $$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} -x \ge 0 \\ x + 2 \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases} \implies x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0] $$ 2. Пусть $t = \sqrt{-x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = -t^2$. Получаем: $$ \frac{t - 3}{2 - t^2} < 0 $$ Умножим обе части на $-1$: $$ \frac{t - 3}{t^2 - 2} > 0 $$ $$ \frac{t - 3}{(t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2})} > 0 $$ Учитывая, что $t + \sqrt{2} > 0$ при всех $t \ge 0$, получаем: $$ \frac{t - 3}{t - \sqrt{2}} > 0 \quad \text{при } t \ge 0 $$ Определим знаки на луче $[0; +\infty)$: - на промежутке $[0; \sqrt{2})$: знак «$+$»; - на интервале $(\sqrt{2}; 3)$: знак «$-»$; - на интервале $(3; +\infty)$: знак «$+$». Следовательно: $$ \left[ \begin{aligned} & 0 \le t < \sqrt{2} \\ & t > 3 \end{aligned} \right. $$ 3. Вернемся к переменной $x$: - $0 \le \sqrt{-x} < \sqrt{2} \iff 0 \le -x < 2 \iff -2 < x \le 0$; - $\sqrt{-x} > 3 \iff -x > 9 \iff x < -9$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -9) \cup (-2; 0]$.