ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 52

а) По определению абсолютной величины: $$ |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0, \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0. \end{cases} $$ Разобьём область определения на два непересекающихся случая в зависимости от знака $f(x)$: 1. Пусть $f(x) \ge 0$. Тогда $|f(x)| = f(x)$, и неравенство $|f(x)| < g(x)$ принимает вид $f(x) < g(x)$. Так как $g(x) > f(x) \ge 0$, то $g(x) > 0$, а значит, $-g(x) < 0 \le f(x)$. Неравенство $-g(x) < f(x)$ выполняется автоматически. Следовательно, в этом случае неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x). \end{cases} $$ 2. Пусть $f(x) < 0$. Тогда $|f(x)| = -f(x)$, и неравенство принимает вид $-f(x) < g(x)$, что равносильно $f(x) > -g(x)$. Так как $f(x) < 0$ и $-g(x) < f(x)$, то $-g(x) < 0$, то есть $g(x) > 0$. Неравенство $f(x) < g(x)$ при $f(x) < 0$ и $g(x) > 0$ выполняется автоматически. Следовательно, в этом случае неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) > -g(x). \end{cases} $$ Объединяя решения обоих случаев (рассматривая их совокупность), получаем: $$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x), \end{cases} $$ что можно записать в виде двойного неравенства: $$ -g(x) < f(x) < g(x). $$ Обратно: если выполнено $-g(x) < f(x) < g(x)$, то при $f(x) \ge 0$ имеем $|f(x)| = f(x) < g(x)$, а при $f(x) < 0$ из $-g(x) < f(x)$ следует $|f(x)| = -f(x) < g(x)$. Равносильность доказана. --- б) Рассмотрим неравенство $|f(x)| > g(x)$. 1. Докажем, что из $|f(x)| > g(x)$ следует совокупность $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$: - если $f(x) \ge 0$, то по определению модуля $|f(x)| = f(x)$, следовательно, $f(x) > g(x)$; - если $f(x) < 0$, то $|f(x)| = -f(x)$, откуда $-f(x) > g(x)$, то есть $f(x) < -g(x)$. В обоих случаях $x$ удовлетворяет совокупности: $$ \left[ \begin{aligned} &f(x) > g(x), \\ &f(x) < -g(x). \end{aligned} \right. $$ 2. Докажем обратное: пусть выполняется хотя бы одно из неравенств совокупности. - Если выполнено $f(x) > g(x)$: при $f(x) \ge 0$ получаем $|f(x)| = f(x) > g(x)$; при $f(x) < 0$ имеем $g(x) < f(x) < 0$, следовательно, $|f(x)| > 0 > g(x)$, то есть $|f(x)| > g(x)$. - Если выполнено $f(x) < -g(x)$, то $-f(x) > g(x)$: при $f(x) \le 0$ получаем $|f(x)| = -f(x) > g(x)$; при $f(x) > 0$ имеем $-g(x) > f(x) > 0$, откуда $g(x) < 0$, следовательно, $|f(x)| > 0 > g(x)$, то есть $|f(x)| > g(x)$. Таким образом, любое решение совокупности является решением неравенства $|f(x)| > g(x)$. Равносильность доказана. --- в) Рассмотрим неравенство $\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется условиями существования логарифмов: $$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ \varphi(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ g(x) \neq 1. \end{cases} $$ По свойствам логарифмической функции $y = \log_a t$ разобьём допустимые значения основания $g(x)$ на два случая: 1. Случай $g(x) > 1$: Логарифмическая функция с основанием, большим 1, является строго возрастающей на $(0; +\infty)$. Поэтому неравенство $\log_{g(x)} f(x) < \log_{g(x)} \varphi(x)$ выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) < \varphi(x)$. С учётом условий ОДЗ ($f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$) получаем систему: $$ \begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x) \\ g(x) > 1. \end{cases} $$ (Условие $\varphi(x) > 0$ выполняется автоматически в силу $0 < f(x) < \varphi(x)$). 2. Случай $0 < g(x) < 1$: Логарифмическая функция с основанием от 0 до 1 является строго убывающей на $(0; +\infty)$. Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента: знак неравенства меняется на противоположный, то есть $f(x) > \varphi(x)$. С учётом условий ОДЗ ($f(x) > 0$ и $\varphi(x) > 0$) получаем систему: $$ \begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0 \\ 0 < g(x) < 1. \end{cases} $$ (Условие $f(x) > 0$ выполняется автоматически в силу $f(x) > \varphi(x) > 0$). Так как других вариантов для основания $g(x)$ на ОДЗ нет, исходное неравенство равносильно совокупности этих двух систем: $$ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} 0 < f(x) < \varphi(x) \\ g(x) > 1, \end{cases} \\ &\begin{cases} f(x) > \varphi(x) > 0 \\ 0 < g(x) < 1. \end{cases} \end{aligned} \right. $$ Равносильность доказана.