ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 58

**а)** $|x+1| < x^2 - 2x + 1$ Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $$ Подставим выражения: $$ \begin{cases} x + 1 < x^2 - 2x + 1 \\ x + 1 > -(x^2 - 2x + 1) \end{cases} $$ Решим первое неравенство системы: $x^2 - 3x > 0 \iff x(x - 3) > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$. Решим второе неравенство системы: $x + 1 > -x^2 + 2x - 1 \iff x^2 - x + 2 > 0$. Дискриминант квадратного трёхчлена: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен ($1 > 0$) и $D < 0$, неравенство $x^2 - x + 2 > 0$ выполняется при всех действительных $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Найдём пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$. **Ответ:** $(-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$ --- **б)** $|x+1| > x^2 + 4x + 1$ Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности неравенств: $$ \left[ \begin{aligned} &f(x) > g(x) \\ &f(x) < -g(x) \end{aligned} \right. $$ Запишем совокупность: $$ \left[ \begin{aligned} &x + 1 > x^2 + 4x + 1 \\ &x + 1 < -(x^2 + 4x + 1) \end{aligned} \right. $$ 1) Решим первое неравенство: $x^2 + 3x < 0 \iff x(x + 3) < 0 \iff x \in (-3; 0)$. 2) Решим второе неравенство: $x + 1 < -x^2 - 4x - 1 \iff x^2 + 5x + 2 < 0$. Найдём корни уравнения $x^2 + 5x + 2 = 0$: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$, $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}$. Значит, решением является интервал: $x \in \left(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}\right)$. 3) Объединим решения: Оценим значения: $\sqrt{17} \approx 4{,}12$, поэтому $\frac{-5 - \sqrt{17}}{2} \approx -4{,}56 < -3$, $\frac{-5 + \sqrt{17}}{2} \approx -0{,}44 \in (-3; 0)$. Следовательно, интервалы перекрываются: $\left(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{17}}{2}\right) \cup (-3; 0) = \left(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; 0\right)$. **Ответ:** $\left(\frac{-5 - \sqrt{17}}{2}; 0\right)$ --- **в)** $|3\sqrt{x}-5| > \sqrt{x}-1$ Область допустимых значений: $x \ge 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, причём $t \ge 0$. Неравенство принимает вид: $|3t - 5| > t - 1$, что равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{aligned} &3t - 5 > t - 1 \\ &3t - 5 < -(t - 1) \end{aligned} \right. $$ Решим каждое неравенство относительно $t$: 1) $3t - t > 5 - 1 \iff 2t > 4 \iff t > 2$. 2) $3t - 5 < -t + 1 \iff 4t < 6 \iff t < \frac{3}{2}$. С учётом условия $t \ge 0$ получаем: $t \in \left[0; \frac{3}{2}\right) \cup (2; +\infty)$. Вернёмся к переменной $x$: $$ \left[ \begin{aligned} &0 \le \sqrt{x} < \frac{3}{2} \\ &\sqrt{x} > 2 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &0 \le x < \frac{9}{4} \\ &x > 4 \end{aligned} \right. $$ **Ответ:** $[0; 2{,}25) \cup (4; +\infty)$ --- **г)** $|2\sqrt{x}-7| > \sqrt{x}-2$ Область допустимых значений: $x \ge 0$. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Получаем неравенство: $|2t - 7| > t - 2$, которое равносильно совокупности: $$ \left[ \begin{aligned} &2t - 7 > t - 2 \\ &2t - 7 < -(t - 2) \end{aligned} \right. $$ Решим каждое неравенство относительно $t$: 1) $2t - t > 7 - 2 \iff t > 5$. 2) $2t - 7 < -t + 2 \iff 3t < 9 \iff t < 3$. С учётом ограничения $t \ge 0$: $t \in [0; 3) \cup (5; +\infty)$. Вернёмся к переменной $x$: $$ \left[ \begin{aligned} &0 \le \sqrt{x} < 3 \\ &\sqrt{x} > 5 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} &0 \le x < 9 \\ &x > 25 \end{aligned} \right. $$ **Ответ:** $[0; 9) \cup (25; +\infty)$