ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 53

**а)** $(1 - x) \lg(x + 2) < 0$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ x + 2 > 0 \implies x > -2 $$ ОДЗ: $x \in (-2; +\infty)$. 2. Найдём нули функции $f(x) = (1 - x) \lg(x + 2)$: - $1 - x = 0 \implies x = 1$; - $\lg(x + 2) = 0 \implies x + 2 = 10^0 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$. Оба значения входят в ОДЗ. 3. Применим метод интервалов на луче $(-2; +\infty)$. Точки $-1$ и $1$ разбивают его на промежутки: $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; +\infty)$. Определим знаки выражения $f(x)$ на каждом промежутке: - при $x \in (1; +\infty)$ (например, $x = 8$): $(1 - 8) < 0$, $\lg(8 + 2) = 1 > 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»); - при $x \in (-1; 1)$ (например, $x = 0$): $(1 - 0) > 0$, $\lg(0 + 2) > 0$, поэтому $f(x) > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-2; -1)$ (например, $x = -1,5$): $(1 - (-1,5)) > 0$, $\lg(-1,5 + 2) = \lg(0,5) < 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»). Неравенство строгое со знаком «$<$», поэтому выбираем промежутки со знаком «$-$». Ответ: $(-2; -1) \cup (1; +\infty)$ --- **б)** $(2 - x) \log_{0,5}(x + 3) > 0$ 1. ОДЗ: $$ x + 3 > 0 \implies x > -3 $$ ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$. 2. Найдём нули функции $f(x) = (2 - x) \log_{0,5}(x + 3)$: - $2 - x = 0 \implies x = 2$; - $\log_{0,5}(x + 3) = 0 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$. Оба значения принадлежат ОДЗ. 3. Применим метод интервалов на промежутке $(-3; +\infty)$. Точки $-2$ и $2$ разбивают его на интервалы: $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; +\infty)$. Определим знаки $f(x)$: - при $x \in (2; +\infty)$ (например, $x = 5$): $(2 - 5) < 0$, $\log_{0,5}(5 + 3) = \log_{0,5} 8 = -3 < 0$, произведение отрицательных чисел положительно, $f(x) > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-2; 2)$ (например, $x = 0$): $(2 - 0) > 0$, $\log_{0,5}(0 + 3) < 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»); - при $x \in (-3; -2)$ (например, $x = -2,5$): $(2 - (-2,5)) > 0$, $\log_{0,5}(-2,5 + 3) = \log_{0,5}(0,5) = 1 > 0$, поэтому $f(x) > 0$ (знак «$+$»). Неравенство строгое со знаком «$>$», выбираем промежутки со знаком «$+$». Ответ: $(-3; -2) \cup (2; +\infty)$ --- **в)** $(x - 3) \log_5(5 - x) < 0$ 1. ОДЗ: $$ 5 - x > 0 \implies x < 5 $$ ОДЗ: $x \in (-\infty; 5)$. 2. Найдём нули функции $f(x) = (x - 3) \log_5(5 - x)$: - $x - 3 = 0 \implies x = 3$; - $\log_5(5 - x) = 0 \implies 5 - x = 1 \implies x = 4$. Оба значения входят в ОДЗ. 3. Применим метод интервалов на луче $(-\infty; 5)$. Точки $3$ и $4$ разбивают его на промежутки: $(-\infty; 3)$, $(3; 4)$, $(4; 5)$. Определим знаки $f(x)$: - при $x \in (4; 5)$ (например, $x = 4,8$): $4,8 - 3 > 0$, $\log_5(5 - 4,8) = \log_5(0,2) = -1 < 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»); - при $x \in (3; 4)$ (например, $x = 3,5$): $3,5 - 3 > 0$, $\log_5(5 - 3,5) = \log_5(1,5) > 0$, поэтому $f(x) > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-\infty; 3)$ (например, $x = 0$): $0 - 3 < 0$, $\log_5(5 - 0) = \log_5 5 = 1 > 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»). Требуется найти значения, при которых $f(x) < 0$. Ответ: $(-\infty; 3) \cup (4; 5)$ --- **г)** $(4 + x) \log_{0,2}(3 - x) > 0$ 1. ОДЗ: $$ 3 - x > 0 \implies x < 3 $$ ОДЗ: $x \in (-\infty; 3)$. 2. Найдём нули функции $f(x) = (4 + x) \log_{0,2}(3 - x)$: - $4 + x = 0 \implies x = -4$; - $\log_{0,2}(3 - x) = 0 \implies 3 - x = 1 \implies x = 2$. Оба корня принадлежат ОДЗ. 3. Применим метод интервалов на луче $(-\infty; 3)$. Точки $-4$ и $2$ разбивают его на промежутки: $(-\infty; -4)$, $(-4; 2)$, $(2; 3)$. Определим знаки $f(x)$: - при $x \in (2; 3)$ (например, $x = 2,8$): $4 + 2,8 > 0$, $\log_{0,2}(3 - 2,8) = \log_{0,2}(0,2) = 1 > 0$, поэтому $f(x) > 0$ (знак «$+$»); - при $x \in (-4; 2)$ (например, $x = 0$): $4 + 0 > 0$, $\log_{0,2}(3 - 0) = \log_{0,2} 3 < 0$, поэтому $f(x) < 0$ (знак «$-$»); - при $x \in (-\infty; -4)$ (например, $x = -5$): $4 + (-5) < 0$, $\log_{0,2}(3 - (-5)) = \log_{0,2} 8 < 0$, произведение отрицательных чисел положительно, $f(x) > 0$ (знак «$+$»). Требуется найти значения, при которых $f(x) > 0$. Ответ: $(-\infty; -4) \cup (2; 3)$