ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 54

а) Решим неравенство: $$(3 - \sqrt{10 - x})(\sqrt{x} - 2) < 0$$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 10 - x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 10 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \in [0; 10]$$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (3 - \sqrt{10 - x})(\sqrt{x} - 2)$: $$3 - \sqrt{10 - x} = 0 \iff \sqrt{10 - x} = 3 \iff 10 - x = 9 \iff x = 1$$ $$\sqrt{x} - 2 = 0 \iff \sqrt{x} = 2 \iff x = 4$$ Оба значения принадлежат ОДЗ. 3. Нанесём нули функции на числовую прямую с учётом ОДЗ и определим знаки функции на полученных промежутках: - При $x \in [0; 1)$ (например, $x = 0$): $$f(0) = (3 - \sqrt{10})(0 - 2) > 0 \quad (\text{так как } 3 - \sqrt{10} < 0 \text{ и } -2 < 0)$$ - При $x \in (1; 4)$ (например, $x = 2$): $$f(2) = (3 - \sqrt{8})(\sqrt{2} - 2) < 0 \quad (\text{так как } 3 - \sqrt{8} > 0 \text{ и } \sqrt{2} - 2 < 0)$$ - При $x \in (4; 10]$ (например, $x = 9$): $$f(9) = (3 - \sqrt{1})(\sqrt{9} - 2) = 2 \cdot 1 = 2 > 0$$ Так как неравенство строгое, точки $x = 1$ и $x = 4$ не входят в решение. Знак «$<$» соответствует промежутку $(1; 4)$. Ответ: $(1; 4)$ --- б) Решим неравенство: $$(2 - \sqrt{9 - x})(\sqrt{x} - 1) > 0$$ 1. Найдём ОДЗ: $$\begin{cases} 9 - x \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 9 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \in [0; 9]$$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (2 - \sqrt{9 - x})(\sqrt{x} - 1)$: $$2 - \sqrt{9 - x} = 0 \iff \sqrt{9 - x} = 2 \iff 9 - x = 4 \iff x = 5$$ $$\sqrt{x} - 1 = 0 \iff \sqrt{x} = 1 \iff x = 1$$ Оба корня принадлежат ОДЗ. 3. Определим знаки функции на промежутках внутри ОДЗ $[0; 9]$: - При $x \in [0; 1)$ (проверим граничную точку $x = 0$): $$f(0) = (2 - \sqrt{9})(0 - 1) = (-1) \cdot (-1) = 1 > 0$$ - При $x \in (1; 5)$ (например, $x = 4$): $$f(4) = (2 - \sqrt{5})(\sqrt{4} - 1) = (2 - \sqrt{5}) \cdot 1 < 0$$ - При $x \in (5; 9]$ (проверим граничную точку $x = 9$): $$f(9) = (2 - \sqrt{0})(\sqrt{9} - 1) = 2 \cdot 2 = 4 > 0$$ Так как неравенство строгое, точки $x = 1$ и $x = 5$ выколоты. Граничные точки ОДЗ $x = 0$ и $x = 9$ удовлетворяют строгому неравенству, поэтому входят в решение. Ответ: $[0; 1) \cup (5; 9]$ --- в) Решим неравенство: $$(\sqrt{3 - x} - 1)\lg x < 0$$ 1. Найдём ОДЗ: $$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases} \iff x \in (0; 3]$$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (\sqrt{3 - x} - 1)\lg x$: $$\sqrt{3 - x} - 1 = 0 \iff \sqrt{3 - x} = 1 \iff 3 - x = 1 \iff x = 2$$ $$\lg x = 0 \iff x = 1$$ Оба корня принадлежат ОДЗ. 3. Определим знаки функции на промежутках внутри ОДЗ $(0; 3]$: - При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0{,}1$): $$\sqrt{3 - 0{,}1} - 1 > 0, \quad \lg 0{,}1 = -1 < 0 \implies f(0{,}1) < 0$$ - При $x \in (1; 2)$ (например, $x = 1{,}5$): $$\sqrt{3 - 1{,}5} - 1 = \sqrt{1{,}5} - 1 > 0, \quad \lg 1{,}5 > 0 \implies f(1{,}5) > 0$$ - При $x \in (2; 3]$ (проверим граничную точку $x = 3$): $$f(3) = (\sqrt{0} - 1)\lg 3 = -\lg 3 < 0$$ Точки $x = 1$ и $x = 2$ выколоты, граничная точка $x = 3$ удовлетворяет строгому неравенству. Нам нужны промежутки, где $f(x) < 0$. Ответ: $(0; 1) \cup (2; 3]$ --- г) Решим неравенство: $$(\sqrt{x} - 1)\lg(3 - x) < 0$$ 1. Найдём ОДЗ: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ x < 3 \end{cases} \iff x \in [0; 3)$$ 2. Найдём нули функции $f(x) = (\sqrt{x} - 1)\lg(3 - x)$: $$\sqrt{x} - 1 = 0 \iff \sqrt{x} = 1 \iff x = 1$$ $$\lg(3 - x) = 0 \iff 3 - x = 1 \iff x = 2$$ Оба значения лежат в ОДЗ. 3. Определим знаки функции на промежутках внутри ОДЗ $[0; 3)$: - При $x \in [0; 1)$ (проверим граничную точку $x = 0$): $$f(0) = (0 - 1)\lg 3 = -\lg 3 < 0$$ - При $x \in (1; 2)$ (например, $x = 1{,}5$): $$\sqrt{1{,}5} - 1 > 0, \quad \lg(3 - 1{,}5) = \lg 1{,}5 > 0 \implies f(1{,}5) > 0$$ - При $x \in (2; 3)$ (например, $x = 2{,}5$): $$\sqrt{2{,}5} - 1 > 0, \quad \lg(3 - 2{,}5) = \lg 0{,}5 < 0 \implies f(2{,}5) < 0$$ Точки $x = 1$ и $x = 2$ выколоты, а точка $x = 0$ входит в решение, так как $f(0) < 0$. Ответ: $[0; 1) \cup (2; 3)$