ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 50

а) Решим неравенство: $$ 9^x + 1 + \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{2} < 10 \cdot 3^{x-1} + \operatorname{ctg} \frac{\pi x}{2} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $\operatorname{ctg} \alpha$ определена при $\alpha \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: $$ \frac{\pi x}{2} \neq \pi k \implies x \neq 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. На ОДЗ вычтем $\operatorname{ctg} \frac{\pi x}{2}$ из обеих частей неравенства: $$ 9^x + 1 < 10 \cdot 3^{x-1} $$ Так как $9^x = (3^x)^2$ и $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$, получаем: $$ (3^x)^2 - \frac{10}{3} \cdot 3^x + 1 < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $3$: $$ 3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 < 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, причём $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 3t^2 - 10t + 3 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 $$ $$ t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}, \quad t_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3 $$ Решением квадратного неравенства относительно $t$ является интервал: $$ \frac{1}{3} < t < 3 $$ 3. Возвращаемся к переменной $x$: $$ \frac{1}{3} < 3^x < 3 $$ $$ 3^{-1} < 3^x < 3^1 $$ Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, следовательно: $$ -1 < x < 1 $$ 4. Учтём ОДЗ: из интервала $(-1; 1)$ необходимо исключить чётные целые числа ($x \neq 2k$). В данный интервал попадает точка $x = 0$ (при $k = 0$). Таким образом: $$ x \in (-1; 0) \cup (0; 1) $$ Ответ к пункту а: $(-1; 0) \cup (0; 1)$. --- б) Решим неравенство: $$ 4^x + 2 + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} < 9 \cdot 2^{x-1} + \operatorname{tg} \frac{\pi x}{2} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Функция тангенса $\operatorname{tg} \alpha$ определена при $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$: $$ \frac{\pi x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq 1 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ То есть $x$ не может быть нечётным целым числом. 2. На ОДЗ вычтем $\operatorname{tg} \frac{\pi x}{2}$ из обеих частей неравенства: $$ 4^x + 2 < 9 \cdot 2^{x-1} $$ Так как $4^x = (2^x)^2$ и $2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$, получаем: $$ (2^x)^2 - \frac{9}{2} \cdot 2^x + 2 < 0 $$ Умножим обе части неравенства на $2$: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 < 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$, причём $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$ 2t^2 - 9t + 4 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 $$ $$ t_1 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4 $$ Решением неравенства относительно $t$ является интервал: $$ \frac{1}{2} < t < 4 $$ 3. Возвращаемся к переменной $x$: $$ \frac{1}{2} < 2^x < 4 $$ $$ 2^{-1} < 2^x < 2^2 $$ Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция возрастает, следовательно: $$ -1 < x < 2 $$ 4. Учтём ОДЗ: из интервала $(-1; 2)$ необходимо исключить нечётные целые числа ($x \neq 1 + 2k$). В данный интервал попадает число $x = 1$ (при $k = 0$). Таким образом: $$ x \in (-1; 1) \cup (1; 2) $$ Ответ к пункту б: $(-1; 1) \cup (1; 2)$.