ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 35

**а)** Решим уравнение: $$ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} + \sqrt{x} $$ Уравнение имеет смысл только при $x \ge 0$ (так как выражение под знаком корня $\sqrt{x}$ должно быть неотрицательным). Вычтем $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{\frac{x-1}{x-2}} = \sqrt{\frac{2x-2}{x-6}} $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ \frac{x-1}{x-2} = \frac{2(x-1)}{x-6} $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ \frac{x-1}{x-2} - \frac{2(x-1)}{x-6} = 0 $$ $$ (x-1)\left(\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-6}\right) = 0 $$ Рассмотрим два случая: 1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Проверим подстановкой в исходное уравнение: левая часть: $\sqrt{\frac{1-1}{1-2}} + \sqrt{1} = \sqrt{0} + 1 = 1$; правая часть: $\sqrt{\frac{2\cdot 1-2}{1-6}} + \sqrt{1} = \sqrt{0} + 1 = 1$. Значения равны, значит, $x = 1$ является корнем. 2) $\frac{1}{x-2} - \frac{2}{x-6} = 0 \implies \frac{1}{x-2} = \frac{2}{x-6}$. При $x \neq 2$ и $x \neq 6$: $x - 6 = 2(x - 2)$ $x - 6 = 2x - 4$ $x = -2$. Проверим условие существования корней исходного уравнения: при $x = -2$ выражение $\sqrt{x} = \sqrt{-2}$ не определено в действительных числах, следовательно, $x = -2$ — посторонний корень. Ответ: $1$. --- **б)** Решим уравнение: $$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} + \sqrt{x} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} + \sqrt{x} $$ Уравнение определено при $x \ge 0$. Вычтем $\sqrt{x}$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} = \sqrt{\frac{2x-6}{x-4}} $$ Возведём обе части в квадрат: $$ \frac{x+3}{x-3} = \frac{2x-6}{x-4} $$ Заметим, что $2x - 6 = 2(x - 3)$. Применив свойство пропорции при $x \neq 3$ и $x \neq 4$, получим: $$ (x+3)(x-4) = 2(x-3)^2 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ x^2 - x - 12 = 2(x^2 - 6x + 9) $$ $$ x^2 - x - 12 = 2x^2 - 12x + 18 $$ $$ x^2 - 11x + 30 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ x_1 = 5, \quad x_2 = 6 $$ Проверим найденные значения: 1) При $x = 5$: $x \ge 0$ выполняется; $\frac{x+3}{x-3} = \frac{5+3}{5-3} = \frac{8}{2} = 4 \ge 0$; $\frac{2x-6}{x-4} = \frac{10-6}{5-4} = \frac{4}{1} = 4 \ge 0$. Обе части уравнения равны $\sqrt{4} + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$. Корень $x = 5$ подходит. 2) При $x = 6$: $x \ge 0$ выполняется; $\frac{x+3}{x-3} = \frac{6+3}{6-3} = \frac{9}{3} = 3 \ge 0$; $\frac{2x-6}{x-4} = \frac{12-6}{6-4} = \frac{6}{2} = 3 \ge 0$. Обе части уравнения равны $\sqrt{3} + \sqrt{6}$. Корень $x = 6$ подходит. Ответ: $5$; $6$. --- **в)** Решим уравнение: $$ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} + 3\ \mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} + 3\ \mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4} $$ Функция тангенса определена, если её аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$: $$ \frac{\pi x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \neq 2 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Вычтем $3\ \mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4}$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{\frac{x+1}{x-3}} = \sqrt{\frac{x+4}{3x-8}} $$ Возведём обе части в квадрат: $$ \frac{x+1}{x-3} = \frac{x+4}{3x-8} $$ При $x \neq 3$ и $x \neq \frac{8}{3}$ воспользуемся свойством пропорции: $$ (x+1)(3x-8) = (x+4)(x-3) $$ $$ 3x^2 - 5x - 8 = x^2 + x - 12 $$ $$ 2x^2 - 6x + 4 = 0 $$ $$ x^2 - 3x + 2 = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Проверим найденные значения: 1) При $x = 1$: подкоренное выражение $\frac{x+1}{x-3} = \frac{1+1}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1 < 0$. Квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел, поэтому $x = 1$ — посторонний корень. 2) При $x = 2$: значение не входит в область определения тангенса, так как $x = 2 + 4\cdot 0 = 2$, при этом $\cos\frac{2\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. Кроме того, подкоренное выражение $\frac{2+1}{2-3} = -3 < 0$. Значит, $x = 2$ — посторонний корень. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет корней. --- **г)** Решим уравнение: $$ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} - \mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} - \mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4} $$ Функция тангенса определена при $x \neq 2 + 4k, k \in \mathbb{Z}$. Прибавим $\mathrm{tg}\ \frac{\pi x}{4}$ к обеим частям уравнения: $$ \sqrt{\frac{x-3}{x+2}} = \sqrt{\frac{x-3}{2x+3}} $$ Возведём обе части в квадрат: $$ \frac{x-3}{x+2} = \frac{x-3}{2x+3} $$ $$ \frac{x-3}{x+2} - \frac{x-3}{2x+3} = 0 $$ $$ (x-3)\left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{2x+3}\right) = 0 $$ Рассмотрим два случая: 1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Проверим $x = 3$: $\mathrm{tg}\frac{3\pi}{4} = -1$ (определён); $\frac{x-3}{x+2} = \frac{3-3}{3+2} = 0 \ge 0$; $\frac{x-3}{2x+3} = \frac{3-3}{6+3} = 0 \ge 0$. Обе части уравнения равны $\sqrt{0} - (-1) = 1$. Значит, $x = 3$ является корнем. 2) $\frac{1}{x+2} - \frac{1}{2x+3} = 0 \implies x + 2 = 2x + 3 \implies x = -1$. Проверим $x = -1$: подкоренное выражение $\frac{x-3}{x+2} = \frac{-1-3}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4 < 0$. Корень не определён в действительных числах, поэтому $x = -1$ — посторонний корень. Ответ: $3$.