ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 32

**а)** $\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1} = 4$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 2x - 3 \ge 0, \\ 4x + 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 1{,}5, \\ x \ge -0{,}25 \end{cases} \iff x \ge 1{,}5 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{2x-3} + \sqrt{4x+1})^2 = 4^2 $$ $$ (2x - 3) + 2\sqrt{(2x - 3)(4x + 1)} + (4x + 1) = 16 $$ Приведем подобные слагаемые и изолируем корень: $$ 6x - 2 + 2\sqrt{(2x - 3)(4x + 1)} = 16 $$ $$ 2\sqrt{(2x - 3)(4x + 1)} = 18 - 6x $$ Разделим обе части на $2$: $$ \sqrt{(2x - 3)(4x + 1)} = 9 - 3x $$ Левая часть неотрицательна, значит, правая часть также должна быть неотрицательной: $$ 9 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 9 \implies x \le 3 $$ С учетом ОДЗ получаем: $1{,}5 \le x \le 3$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (2x - 3)(4x + 1) = (9 - 3x)^2 $$ $$ 8x^2 + 2x - 12x - 3 = 81 - 54x + 9x^2 $$ $$ 8x^2 - 10x - 3 = 9x^2 - 54x + 81 $$ Перенесем все члены в правую часть: $$ x^2 - 44x + 84 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ \frac{D}{4} = (-22)^2 - 1 \cdot 84 = 484 - 84 = 400 = 20^2 $$ $$ x_1 = 22 - 20 = 2, \quad x_2 = 22 + 20 = 42 $$ Проверим условие $1{,}5 \le x \le 3$: - $x = 2$ удовлетворяет условию ($1{,}5 \le 2 \le 3$); - $x = 42$ не удовлетворяет условию ($42 > 3$) — посторонний корень. Проверка: $\sqrt{2 \cdot 2 - 3} + \sqrt{4 \cdot 2 + 1} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ — верно. Ответ: $2$ --- **б)** $\sqrt{2x+6} = 2 + \sqrt{x+1}$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 2x + 6 \ge 0, \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -3, \\ x \ge -1 \end{cases} \iff x \ge -1 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{2x+6})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2 $$ $$ 2x + 6 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x + 1) $$ $$ 2x + 6 = x + 5 + 4\sqrt{x+1} $$ Изолируем слагаемое с корнем: $$ x + 1 = 4\sqrt{x+1} $$ Перенесем все члены в одну сторону: $$ (x + 1) - 4\sqrt{x+1} = 0 $$ Так как $x + 1 = (\sqrt{x+1})^2$, вынесем $\sqrt{x+1}$ за скобки: $$ \sqrt{x+1} \cdot (\sqrt{x+1} - 4) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sqrt{x+1} = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$ 2) $\sqrt{x+1} - 4 = 0 \implies \sqrt{x+1} = 4 \implies x + 1 = 16 \implies x_2 = 15$ Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -1$). Проверка: - при $x = -1$: $\sqrt{2(-1)+6} = \sqrt{4} = 2$ и $2 + \sqrt{-1+1} = 2 + 0 = 2$ — верно; - при $x = 15$: $\sqrt{2(15)+6} = \sqrt{36} = 6$ и $2 + \sqrt{15+1} = 2 + 4 = 6$ — верно. Ответ: $-1$; $15$ --- **в)** $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = 2$ Запишем уравнение в виде суммы неотрицательных выражений: $$ \sqrt{4x+8} = 2 + \sqrt{3x-2} $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 4x + 8 \ge 0, \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2, \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases} \iff x \ge \frac{2}{3} $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{4x+8})^2 = (2 + \sqrt{3x-2})^2 $$ $$ 4x + 8 = 4 + 4\sqrt{3x-2} + (3x - 2) $$ $$ 4x + 8 = 3x + 2 + 4\sqrt{3x-2} $$ Изолируем корень: $$ x + 6 = 4\sqrt{3x-2} $$ Так как $x \ge \frac{2}{3}$, выражение $x + 6$ всегда положительно. Возведем обе части в квадрат: $$ (x + 6)^2 = 16(3x - 2) $$ $$ x^2 + 12x + 36 = 48x - 32 $$ $$ x^2 - 36x + 68 = 0 $$ Найдем корни: $$ \frac{D}{4} = (-18)^2 - 1 \cdot 68 = 324 - 68 = 256 = 16^2 $$ $$ x_1 = 18 - 16 = 2, \quad x_2 = 18 + 16 = 34 $$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$). Проверка: - при $x = 2$: $\sqrt{4(2)+8} - \sqrt{3(2)-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$ — верно; - при $x = 34$: $\sqrt{4(34)+8} - \sqrt{3(34)-2} = \sqrt{144} - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$ — верно. Ответ: $2$; $34$ --- **г)** $\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x+5} = 5$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0, \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge \frac{2}{3}, \\ x \ge -2{,}5 \end{cases} \iff x \ge \frac{2}{3} $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{3x-2} + \sqrt{2x+5})^2 = 5^2 $$ $$ (3x - 2) + 2\sqrt{(3x-2)(2x+5)} + (2x + 5) = 25 $$ $$ 5x + 3 + 2\sqrt{(3x-2)(2x+5)} = 25 $$ Изолируем слагаемое с корнем: $$ 2\sqrt{(3x-2)(2x+5)} = 22 - 5x $$ Правая часть должна быть неотрицательной: $$ 22 - 5x \ge 0 \implies 5x \le 22 \implies x \le 4{,}4 $$ С учетом ОДЗ: $\frac{2}{3} \le x \le 4{,}4$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 4(3x - 2)(2x + 5) = (22 - 5x)^2 $$ $$ 4(6x^2 + 15x - 4x - 10) = 484 - 220x + 25x^2 $$ $$ 4(6x^2 + 11x - 10) = 25x^2 - 220x + 484 $$ $$ 24x^2 + 44x - 40 = 25x^2 - 220x + 484 $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ x^2 - 264x + 524 = 0 $$ Найдем корни: $$ \frac{D}{4} = (-132)^2 - 1 \cdot 524 = 17424 - 524 = 16900 = 130^2 $$ $$ x_1 = 132 - 130 = 2, \quad x_2 = 132 + 130 = 262 $$ Проверим условие $\frac{2}{3} \le x \le 4{,}4$: - $x = 2$ удовлетворяет условию ($\frac{2}{3} \le 2 \le 4{,}4$); - $x = 262$ не удовлетворяет условию ($262 > 4{,}4$) — посторонний корень. Проверка: $\sqrt{3 \cdot 2 - 2} + \sqrt{2 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$ — верно. Ответ: $2$