ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 34

а) $\sqrt{x^2 + 3} + \log_2 x = 2 + \log_2 x$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ x > 0 $$ При $x > 0$ вычтем $\log_2 x$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{x^2 + 3} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + 3 = 4 $$ $$ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ С учетом ОДЗ ($x > 0$) получаем единственный корень: $x = 1$. Ответ: $1$. --- б) $\log_2 \frac{12}{-3 - x} = \log_2 (1 - x)$ Найдем область допустимых значений: $$ \begin{cases} \dfrac{12}{-3 - x} > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} -3 - x > 0 \\ x < 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x < -3 \\ x < 1 \end{cases} \iff x < -3 $$ Потенцируя уравнение по основанию $2$, получаем: $$ \frac{12}{-3 - x} = 1 - x $$ Умножим обе части на $(-3 - x)$ при условии $x < -3$: $$ 12 = (1 - x)(-3 - x) $$ $$ 12 = -3 - x + 3x + x^2 $$ $$ x^2 + 2x - 15 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$. Сравним полученные корни с ОДЗ ($x < -3$): - $x = -5 < -3$ — удовлетворяет ОДЗ; - $x = 3$ — не удовлетворяет ОДЗ ($3 \not< -3$), посторонний корень. Ответ: $-5$. --- в) $\log_{\frac{1}{3}}(x^4 - 17x^2 + \log_2 x) = \log_{\frac{1}{3}}(19x^2 + \log_2 x)$ Область допустимых значений определяется системой: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^4 - 17x^2 + \log_2 x > 0 \\ 19x^2 + \log_2 x > 0 \end{cases} $$ Потенцируя уравнение, приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^4 - 17x^2 + \log_2 x = 19x^2 + \log_2 x $$ При $x > 0$ вычтем $\log_2 x$ из обеих частей: $$ x^4 - 17x^2 = 19x^2 $$ $$ x^4 - 36x^2 = 0 $$ $$ x^2(x^2 - 36) = 0 $$ $$ x^2(x - 6)(x + 6) = 0 $$ Отсюда: $x = 0$, $x = 6$, $x = -6$. С учетом условия $x > 0$ значения $x = 0$ и $x = -6$ посторонние. Проверим $x = 6$: $19 \cdot 6^2 + \log_2 6 = 19 \cdot 36 + \log_2 6 = 684 + \log_2 6 > 0$, следовательно, оба подлогарифмических выражения положительны. Корень $x = 6$ подходит. Ответ: $6$. --- г) $\log_3 (x^2 - \sqrt{x^2 - 4} + 1) = \log_3 (x^3 - \sqrt{x^2 - 4} - 6x + 1)$ Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$ x^2 - 4 \ge 0 \iff x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ x^2 - \sqrt{x^2 - 4} + 1 = x^3 - \sqrt{x^2 - 4} - 6x + 1 $$ Прибавим $\sqrt{x^2 - 4} - 1$ к обеим частям уравнения: $$ x^2 = x^3 - 6x $$ $$ x^3 - x^2 - 6x = 0 $$ $$ x(x^2 - x - 6) = 0 $$ $$ x(x - 3)(x + 2) = 0 $$ Получаем возможные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -2$. Проверим корни: 1. $x = 0$ не входит в область существования квадратного корня, так как $0^2 - 4 = -4 < 0$ — посторонний корень. 2. При $x = -2$: $(-2)^2 - 4 = 0$; аргумент логарифма: $(-2)^2 - \sqrt{0} + 1 = 4 + 1 = 5 > 0$. Корень $x = -2$ подходит. 3. При $x = 3$: $3^2 - 4 = 5 > 0$; аргумент логарифма: $3^2 - \sqrt{5} + 1 = 10 - \sqrt{5} > 0$ (так как $\sqrt{5} < \sqrt{100} = 10$). Корень $x = 3$ подходит. Ответ: $-2$; $3$.