ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 37

### 8.37 а) Решим уравнение: $$ \frac{\sqrt{x-5}\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+2}}=\sqrt{x-2} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной: $$ \begin{cases} x - 5 \ge 0, \\ x - 6 \ge 0, \\ x + 2 > 0, \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 5, \\ x \ge 6, \\ x > -2, \\ x \ge 2 \end{cases} \iff x \ge 6 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ \frac{(x-5)(x-6)}{x+2} = x-2 $$ Умножим обе части на $(x+2)$ (при $x \ge 6$ имеем $x+2 > 0$): $$ (x-5)(x-6) = (x-2)(x+2) $$ $$ x^2 - 11x + 30 = x^2 - 4 $$ $$ -11x = -34 $$ $$ x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} $$ Проверим принадлежность корня ОДЗ: Число $\frac{34}{11} \approx 3,09 < 6$, следовательно, найденное значение не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Ответ: корней нет. б) Решим уравнение: $$ \frac{\sqrt{x-3}\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3} $$ Найдем ОДЗ переменной: $$ \begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x - 7 \ge 0, \\ x + 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 3, \\ x \ge 7, \\ x > -3 \end{cases} \iff x \ge 7 $$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x+3} > 0$: $$ \sqrt{x-3}\sqrt{x-7} = (\sqrt{x+3})^2 $$ $$ \sqrt{x-3}\sqrt{x-7} = x+3 $$ Так как обе части уравнения неотрицательны при $x \ge 7$, возведем их в квадрат: $$ (x-3)(x-7) = (x+3)^2 $$ $$ x^2 - 10x + 21 = x^2 + 6x + 9 $$ $$ -10x - 6x = 9 - 21 $$ $$ -16x = -12 $$ $$ x = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ Проверим принадлежность корня ОДЗ: Число $0,75 < 7$, следовательно, найденное значение не входит в ОДЗ и является посторонним корнем. Ответ: корней нет. в) Решим уравнение: $$ \frac{\sqrt{7x-21}}{\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{5x-17}}{2} $$ Найдем ОДЗ переменной: $$ \begin{cases} 7x - 21 \ge 0, \\ x + 2 > 0, \\ 5x - 17 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 3, \\ x > -2, \\ x \ge 3,4 \end{cases} \iff x \ge 3,4 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ \frac{7x-21}{x+2} = \frac{5x-17}{4} $$ Применим основное свойство пропорции: $$ 4(7x - 21) = (5x - 17)(x + 2) $$ $$ 28x - 84 = 5x^2 + 10x - 17x - 34 $$ $$ 28x - 84 = 5x^2 - 7x - 34 $$ $$ 5x^2 - 35x + 50 = 0 $$ Разделим обе части на 5: $$ x^2 - 7x + 10 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = 2, \quad x_2 = 5 $$ Проверим принадлежность корней ОДЗ ($x \ge 3,4$): - $x = 2 < 3,4$ — посторонний корень; - $x = 5 \ge 3,4$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $5$. г) Решим уравнение: $$ \frac{\sqrt{3x-7}}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{3-4x} $$ Найдем ОДЗ переменной: $$ \begin{cases} 3x - 7 \ge 0, \\ x + 3 > 0, \\ 3 - 4x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 2\frac{1}{3}, \\ x > -3, \\ x \le \frac{3}{4} \end{cases} $$ Система условий $x \ge 2\frac{1}{3}$ и $x \le \frac{3}{4}$ не имеет решений, так как $2\frac{1}{3} > \frac{3}{4}$. Следовательно, ОДЗ уравнения — пустое множество, и уравнение не имеет решений. Ответ: корней нет.