ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 36

### a) $2 \log_4(x + 1) = \log_4(4x + 9)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 1 > 0, \\ 4x + 9 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1, \\ x > -2{,}25 \end{cases} \iff x > -1 $$ Используя свойство логарифма степени, преобразуем левую часть уравнения: $$ \log_4(x + 1)^2 = \log_4(4x + 9) $$ Потенцируем обе части уравнения: $$ (x + 1)^2 = 4x + 9 $$ $$ x^2 + 2x + 1 = 4x + 9 $$ $$ x^2 - 2x - 8 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Сравним найденные значения с ОДЗ ($x > -1$): * $x = 4 > -1$ — является корнем уравнения; * $x = -2 < -1$ — посторонний корень. Ответ: $4$. --- ### b) $2 \log_5(x - 1) = \log_5(7 - x)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ 7 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x < 7 \end{cases} \iff 1 < x < 7 $$ Преобразуем левую часть: $$ \log_5(x - 1)^2 = \log_5(7 - x) $$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ (x - 1)^2 = 7 - x $$ $$ x^2 - 2x + 1 = 7 - x $$ $$ x^2 - x - 6 = 0 $$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Сравним с ОДЗ ($1 < x < 7$): * $x = 3 \in (1; 7)$ — является корнем уравнения; * $x = -2 \notin (1; 7)$ — посторонний корень. Ответ: $3$. --- ### c) $\log_7(x - 2) + \log_7(x + 3) = \log_7(2x^2 - 4x)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x + 3 > 0, \\ 2x^2 - 4x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > -3, \\ 2x(x - 2) > 0 \end{cases} \iff x > 2 $$ Используя свойство логарифма произведения, преобразуем левую часть: $$ \log_7((x - 2)(x + 3)) = \log_7(2x^2 - 4x) $$ Приравниваем подлогарифмические выражения: $$ (x - 2)(x + 3) = 2x^2 - 4x $$ $$ x^2 + 3x - 2x - 6 = 2x^2 - 4x $$ $$ x^2 + x - 6 = 2x^2 - 4x $$ Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ x^2 - 5x + 6 = 0 $$ Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Сравним с ОДЗ ($x > 2$): * $x = 2$ не удовлетворяет условию $x > 2$ — посторонний корень; * $x = 3 > 2$ — является корнем уравнения. Ответ: $3$. --- ### d) $\log_6(x + 2) + \log_6(x - 3) = \log_6(2x^2 - 5x - 6)$ Найдем ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} x + 2 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ 2x^2 - 5x - 6 > 0 \end{cases} $$ Из первых двух неравенств получаем $x > 3$. Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: $$ \log_6((x + 2)(x - 3)) = \log_6(2x^2 - 5x - 6) $$ Приравниваем выражения под знаком логарифма: $$ (x + 2)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 6 $$ $$ x^2 - x - 6 = 2x^2 - 5x - 6 $$ $$ x^2 - 4x = 0 $$ $$ x(x - 4) = 0 $$ Отсюда: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Проверим найденные значения: * При $x = 0$: выражение $x - 3 = -3 < 0$, логарифм $\log_6(x - 3)$ не определен, значит, $x = 0$ — посторонний корень. * При $x = 4$: $x + 2 = 6 > 0$, $x - 3 = 1 > 0$, $2x^2 - 5x - 6 = 2 \cdot 16 - 5 \cdot 4 - 6 = 6 > 0$. Уравнение обращается в верное равенство: $\log_6 6 + \log_6 1 = \log_6 6 \iff 1 + 0 = 1$. Ответ: $4$. --- ### e) $\lg(x - 2) - \lg(x + 3) = \lg \frac{x}{5x + 3}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x + 3 > 0, \\ \dfrac{x}{5x + 3} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > -3, \\ x \in (-\infty; -0{,}6) \cup (0; +\infty) \end{cases} \iff x > 2 $$ Преобразуем разность логарифмов в логарифм частного: $$ \lg\left(\frac{x - 2}{x + 3}\right) = \lg\left(\frac{x}{5x + 3}\right) $$ Приравниваем выражения под знаком логарифма: $$ \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x}{5x + 3} $$ Поскольку при $x > 2$ знаменатели положительны, умножим обе части на $(x + 3)(5x + 3)$: $$ (x - 2)(5x + 3) = x(x + 3) $$ $$ 5x^2 + 3x - 10x - 6 = x^2 + 3x $$ $$ 5x^2 - 7x - 6 = x^2 + 3x $$ $$ 4x^2 - 10x - 6 = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ 2x^2 - 5x - 3 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5 $$ Сравним с ОДЗ ($x > 2$): * $x = 3 > 2$ — является корнем уравнения; * $x = -0{,}5 < 2$ — посторонний корень. Ответ: $3$. --- ### f) $\lg(x + 2) - \lg(x - 3) = \lg \frac{5x + 4}{x}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 2 > 0, \\ x - 3 > 0, \\ \dfrac{5x + 4}{x} > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -2, \\ x > 3, \\ x \in (-\infty; -0{,}8) \cup (0; +\infty) \end{cases} \iff x > 3 $$ Преобразуем разность логарифмов в логарифм частного: $$ \lg\left(\frac{x + 2}{x - 3}\right) = \lg\left(\frac{5x + 4}{x}\right) $$ Приравниваем аргументы логарифмов: $$ \frac{x + 2}{x - 3} = \frac{5x + 4}{x} $$ Для $x > 3$ знаменатели не равны нулю: $$ x(x + 2) = (x - 3)(5x + 4) $$ $$ x^2 + 2x = 5x^2 + 4x - 15x - 12 $$ $$ x^2 + 2x = 5x^2 - 11x - 12 $$ $$ 4x^2 - 13x - 12 = 0 $$ $$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 169 + 192 = 361 = 19^2 $$ $$ x_1 = \frac{13 + 19}{8} = \frac{32}{8} = 4, \quad x_2 = \frac{13 - 19}{8} = -\frac{6}{8} = -0{,}75 $$ Сравним с ОДЗ ($x > 3$): * $x = 4 > 3$ — является корнем уравнения; * $x = -0{,}75 < 3$ — посторонний корень. Ответ: $4$.