ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 29

**8.29\*** **а)** Решим уравнение: $$ \frac{2}{(\log_x 5)^2} - \log_5 x = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$ (так как $x$ стоит в основании логарифма). Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_x 5} = \log_5 x$: $$ 2(\log_5 x)^2 - \log_5 x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\log_5 x$ за скобки: $$ \log_5 x \cdot (2\log_5 x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\log_5 x = 0 \implies x = 5^0 = 1$ — не входит в ОДЗ ($x \neq 1$). 2) $2\log_5 x - 1 = 0 \implies \log_5 x = \frac{1}{2} \implies x = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\sqrt{5}$. --- **b)** Решим уравнение: $$ \frac{2}{(\log_x 4)^2} + \log_4 x = 0 $$ ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$. Применим свойство $\frac{1}{\log_x 4} = \log_4 x$: $$ 2(\log_4 x)^2 + \log_4 x = 0 $$ Вынесем $\log_4 x$ за скобки: $$ \log_4 x \cdot (2\log_4 x + 1) = 0 $$ Отсюда получаем: 1) $\log_4 x = 0 \implies x = 1$ — не входит в ОДЗ ($x \neq 1$). 2) $2\log_4 x + 1 = 0 \implies \log_4 x = -\frac{1}{2} \implies x = 4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **c)** Решим уравнение: $$ \frac{1}{(\log_x 3)^2} + \log_3 x = 0 $$ ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$. Используем равенство $\frac{1}{\log_x 3} = \log_3 x$: $$ (\log_3 x)^2 + \log_3 x = 0 $$ Вынесем $\log_3 x$ за скобки: $$ \log_3 x \cdot (\log_3 x + 1) = 0 $$ Приравниваем каждый множитель к нулю: 1) $\log_3 x = 0 \implies x = 1$ — не входит в ОДЗ ($x \neq 1$). 2) $\log_3 x + 1 = 0 \implies \log_3 x = -1 \implies x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{3}$. --- **d)** Решим уравнение: $$ \frac{1}{(2\log_x 6)^2} - \log_6 x = 0 $$ ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$. Раскроем скобки в знаменателе: $(2\log_x 6)^2 = 4(\log_x 6)^2$. Используя формулу $\frac{1}{\log_x 6} = \log_6 x$, преобразуем уравнение: $$ \frac{1}{4}(\log_6 x)^2 - \log_6 x = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $4$: $$ (\log_6 x)^2 - 4\log_6 x = 0 $$ Вынесем $\log_6 x$ за скобки: $$ \log_6 x \cdot (\log_6 x - 4) = 0 $$ Получаем два случая: 1) $\log_6 x = 0 \implies x = 1$ — не входит в ОДЗ ($x \neq 1$). 2) $\log_6 x - 4 = 0 \implies \log_6 x = 4 \implies x = 6^4 = 1296$ — удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $1296$.