ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 30

**а)** Решим уравнение: $$ \frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\cos x-\sin^2x $$ Область допустимых значений (ОДЗ): выражение $\operatorname{tg} x$ определено, когда $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$: $$ \frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x} = \frac{1-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \cos^2 x - \sin^2 x $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos x - \sin^2 x $$ Прибавим $\sin^2 x$ к обеим частям уравнения: $$ \cos^2 x = \cos x $$ $$ \cos^2 x - \cos x = 0 $$ $$ \cos x (\cos x - 1) = 0 $$ Так как по ОДЗ $\cos x \neq 0$, остаётся: $$ \cos x - 1 = 0 \iff \cos x = 1 $$ $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Найденные значения удовлетворяют ОДЗ ($\cos(2\pi k) = 1 \neq 0$). Ответ: $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** Решим уравнение: $$ \frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\cos^2x+\sin x $$ ОДЗ: $\cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем левую часть по формуле косинуса двойного угла через тангенс: $\frac{1-\operatorname{tg}^2x}{1+\operatorname{tg}^2x} = \cos^2 x - \sin^2 x$. Уравнение принимает вид: $$ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x + \sin x $$ Вычтем $\cos^2 x$ из обеих частей уравнения: $$ -\sin^2 x = \sin x $$ $$ \sin^2 x + \sin x = 0 $$ $$ \sin x (\sin x + 1) = 0 $$ Получаем совокупность уравнений: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = \pm 1 \neq 0$, значит, корни входят в ОДЗ. 2) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \; m \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $\cos x = 0$, следовательно, они не принадлежат ОДЗ (тангенс не определён). Ответ: $x = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **в)** Решим уравнение: $$ \frac{2\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2x}=2\cos^2x-\sqrt{2}\cos x $$ ОДЗ: $\cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем левую часть уравнения: $$ \frac{2\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2x} = \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2\sin x \cos x $$ Подставим полученное выражение в уравнение: $$ 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2}) = 0 $$ С учётом ОДЗ ($\cos x \neq 0$) получаем: $$ 2\sin x - 2\cos x + \sqrt{2} = 0 $$ $$ \sin x - \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x - \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = -\frac{1}{2} $$ Применим формулу синуса разности $\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Запишем решения в виде двух серий: - при $n = 2k$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - при $n = 2k + 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Обе серии удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$. Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ (или $x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k, \; x = \frac{17\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$). --- **г)** Решим уравнение: $$ \frac{2\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2x}=\sqrt{2}\cos x-2\cos^2x $$ ОДЗ: $\cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Преобразуем левую часть уравнения: $\frac{2\operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2x} = 2\sin x \cos x$. Подставим в исходное уравнение: $$ 2\sin x \cos x = \sqrt{2}\cos x - 2\cos^2 x $$ $$ 2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0 $$ $$ \cos x (2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $$ Так как $\cos x \neq 0$ по ОДЗ: $$ 2\sin x + 2\cos x - \sqrt{2} = 0 $$ $$ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{1}{2} $$ $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} $$ Отсюда: $$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Запишем решения в виде двух серий: - при $n = 2k$: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; - при $n = 2k + 1$: $x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Обе серии удовлетворяют условию $\cos x \neq 0$. Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \; x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$).