ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 78

### 78 **a)** $\sqrt{10 - x} = 4 - x$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 4 - x \ge 0, \\ 10 - x = (4 - x)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \le 4, \\ 10 - x = 16 - 8x + x^2 \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Учитывая условие $x \le 4$, корень $x = 6$ является посторонним. Значит, подходит только $x = 1$. Ответ: $1$. --- **b)** $\sqrt{1 + x} = 2x - 4$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0, \\ 1 + x = (2x - 4)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge 2, \\ 1 + x = 4x^2 - 16x + 16 \end{cases} $$ Приведем уравнение к стандартному виду: $$ 4x^2 - 17x + 15 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{17 + 7}{8} = 3, \quad x_2 = \frac{17 - 7}{8} = \frac{10}{8} = 1{,}25 $$ Условию $x \ge 2$ удовлетворяет только $x = 3$. Ответ: $3$. --- **d)** $x + 8\sqrt{x - 5} = 5$ Выразим слагаемое с корнем: $$ 8\sqrt{x - 5} = 5 - x $$ Арифметический квадратный корень определен и неотрицателен, поэтому: $$ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 5 \\ x \le 5 \end{cases} \iff x = 5 $$ Проверим значение $x = 5$: $$ 5 + 8\sqrt{5 - 5} = 5 + 0 = 5 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $5$. --- **e)** $x + 2\sqrt{x - 6} = 6$ Выразим слагаемое с корнем: $$ 2\sqrt{x - 6} = 6 - x $$ Для существования и равенства частей уравнения необходимо выполнение условий: $$ \begin{cases} x - 6 \ge 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 6 \\ x \le 6 \end{cases} \iff x = 6 $$ Проверим значение $x = 6$: $$ 6 + 2\sqrt{6 - 6} = 6 + 0 = 6 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $6$. --- **g)** $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 1 \ge 0, \\ x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки в правой части: $$ x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1 $$ $$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0{,}5 $$ Проверим условие $x^2 - 1 \ge 0$: - при $x = 2$: $2^2 - 1 = 3 \ge 0$ (подходит); - при $x = -0{,}5$: $(-0{,}5)^2 - 1 = 0{,}25 - 1 = -0{,}75 < 0$ (посторонний корень). Ответ: $2$. --- **h)** $\sqrt{x(x - 2)(x + 3)} = 3 - x$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3 - x \ge 0, \\ x(x - 2)(x + 3) = (3 - x)^2 \end{cases} $$ Преобразуем обе части уравнения: $$ x(x^2 + x - 6) = 9 - 6x + x^2 $$ $$ x^3 + x^2 - 6x = x^2 - 6x + 9 $$ Приведем подобные члены: $$ x^3 = 9 \implies x = \sqrt[3]{9} $$ Проверим условие $x \le 3$: так как $\sqrt[3]{9} < \sqrt[3]{27} = 3$, условие выполняется. Ответ: $\sqrt[3]{9}$. --- **i)** $\sqrt{x(x + 4)(x - 3)} = 6 - x$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 6 - x \ge 0, \\ x(x + 4)(x - 3) = (6 - x)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки: $$ x(x^2 + x - 12) = 36 - 12x + x^2 $$ $$ x^3 + x^2 - 12x = x^2 - 12x + 36 $$ Приведем подобные члены: $$ x^3 = 36 \implies x = \sqrt[3]{36} $$ Проверим условие $x \le 6$: так как $\sqrt[3]{36} < \sqrt[3]{216} = 6$, условие выполняется. Ответ: $\sqrt[3]{36}$. --- **6)** $\sqrt{x - 1} = x - 3$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x - 3 \ge 0, \\ x - 1 = (x - 3)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x - 1 = x^2 - 6x + 9 \end{cases} $$ $$ x^2 - 7x + 10 = 0 $$ По теореме Виета корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. С учетом условия $x \ge 3$ корень $x = 2$ является посторонним. Значит, $x = 5$. Ответ: $5$. --- **r)** $\sqrt{x + 7} = 4x - 5$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 4x - 5 \ge 0, \\ x + 7 = (4x - 5)^2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x \ge 1{,}25, \\ x + 7 = 16x^2 - 40x + 25 \end{cases} $$ $$ 16x^2 - 41x + 18 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 18 = 1681 - 1152 = 529 = 23^2 $$ $$ x_1 = \frac{41 + 23}{32} = \frac{64}{32} = 2, \quad x_2 = \frac{41 - 23}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16} = 0{,}5625 $$ Условию $x \ge 1{,}25$ удовлетворяет только корень $x = 2$. Ответ: $2$. --- **e)** $x + 2\sqrt{x - 6} = 6$ Изолируем радикал: $$ 2\sqrt{x - 6} = 6 - x $$ Левая часть определена при $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. Правая часть неотрицательна при $6 - x \ge 0$, то есть $x \le 6$. Одновременно оба условия выполняются только при $x = 6$. Подставим $x = 6$ в исходное уравнение: $$ 6 + 2\sqrt{6 - 6} = 6 \quad \text{— верно.} $$ Ответ: $6$. --- **3)** $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} x^2 - 1 \ge 0, \\ x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки: $$ x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1 $$ $$ 2x^2 + x - 10 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 9}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-1 - 9}{4} = -2{,}5 $$ Проверим условие $x^2 \ge 1$: - при $x = 2$: $2^2 = 4 \ge 1$ (подходит); - при $x = -2{,}5$: $(-2{,}5)^2 = 6{,}25 \ge 1$ (подходит). Ответ: $-2{,}5$; $2$. --- **k)** $\sqrt{x(x + 4)(x - 3)} = 6 - x$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 6 - x \ge 0, \\ x(x + 4)(x - 3) = (6 - x)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки: $$ x(x^2 + x - 12) = 36 - 12x + x^2 $$ $$ x^3 + x^2 - 12x = x^2 - 12x + 36 $$ $$ x^3 = 36 \implies x = \sqrt[3]{36} $$ Условие $x \le 6$ выполнено, так как $\sqrt[3]{36} < 6$. Ответ: $\sqrt[3]{36}$.