ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 75

**а)** Решим уравнение: $$ \frac{1}{(3x+5)(x-1)} + \frac{7}{(x+7)(x-1)} = \frac{1}{x-1} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ 3x + 5 \neq 0, \\ x + 7 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq -\frac{5}{3}, \\ x \neq -7. \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на $(x-1) \neq 0$: $$ \frac{1}{3x+5} + \frac{7}{x+7} = 1 $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(3x+5)(x+7)$ и умножим на него обе части уравнения: $$ 1 \cdot (x+7) + 7(3x+5) = (3x+5)(x+7) $$ Раскроем скобки: $$ x + 7 + 21x + 35 = 3x^2 + 21x + 5x + 35 $$ $$ 22x + 42 = 3x^2 + 26x + 35 $$ Перенесем все слагаемые в одну часть: $$ 3x^2 + 4x - 7 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} $$ Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$), следовательно, является посторонним. Корень $x_2 = -\frac{7}{3}$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{7}{3}$. --- **б)** Решим уравнение: $$ \frac{4}{(4x+3)(x-1)} + \frac{17}{(2x+5)(x-1)} = \frac{3}{x-1} $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ 4x + 3 \neq 0, \\ 2x + 5 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq -\frac{3}{4}, \\ x \neq -\frac{5}{2}. \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на $(x-1) \neq 0$: $$ \frac{4}{4x+3} + \frac{17}{2x+5} = 3 $$ Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(4x+3)(2x+5)$: $$ 4(2x+5) + 17(4x+3) = 3(4x+3)(2x+5) $$ Раскроем скобки: $$ 8x + 20 + 68x + 51 = 3(8x^2 + 20x + 6x + 15) $$ $$ 76x + 71 = 3(8x^2 + 26x + 15) $$ $$ 76x + 71 = 24x^2 + 78x + 45 $$ Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ 24x^2 + 2x - 26 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ 12x^2 + x - 13 = 0 $$ Так как сумма коэффициентов $12 + 1 - 13 = 0$, корнями являются: $$ x_1 = 1 $$ $$ x_2 = -\frac{13}{12} = -1\frac{1}{12} $$ Корень $x_1 = 1$ не подходит по ОДЗ ($x \neq 1$). Корень $x_2 = -\frac{13}{12}$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{13}{12}$. --- **в)** Решим уравнение: $$ \frac{3}{(2x+7)(x-1)} + \frac{2}{(4x-1)(x-1)} = \frac{1}{x-1} $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ 2x + 7 \neq 0, \\ 4x - 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq -3{,}5, \\ x \neq 0{,}25. \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на $(x-1) \neq 0$: $$ \frac{3}{2x+7} + \frac{2}{4x-1} = 1 $$ Умножим обе части уравнения на $(2x+7)(4x-1)$: $$ 3(4x-1) + 2(2x+7) = (2x+7)(4x-1) $$ Раскроем скобки: $$ 12x - 3 + 4x + 14 = 8x^2 - 2x + 28x - 7 $$ $$ 16x + 11 = 8x^2 + 26x - 7 $$ Перенесем слагаемые: $$ 8x^2 + 10x - 18 = 0 $$ Разделим обе части на $2$: $$ 4x^2 + 5x - 9 = 0 $$ Так как $4 + 5 - 9 = 0$, корни уравнения: $$ x_1 = 1 $$ $$ x_2 = -\frac{9}{4} = -2{,}25 $$ Корень $x_1 = 1$ является посторонним по ОДЗ ($x \neq 1$). Корень $x_2 = -\frac{9}{4}$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{9}{4}$. --- **г)** Решим уравнение: $$ \frac{3}{(4x+5)(x-1)} + \frac{5}{(x+2)(x-1)} = \frac{2}{x-1} $$ Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 1 \neq 0, \\ 4x + 5 \neq 0, \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1, \\ x \neq -1{,}25, \\ x \neq -2. \end{cases} $$ Умножим обе части уравнения на $(x-1) \neq 0$: $$ \frac{3}{4x+5} + \frac{5}{x+2} = 2 $$ Умножим обе части уравнения на $(4x+5)(x+2)$: $$ 3(x+2) + 5(4x+5) = 2(4x+5)(x+2) $$ Раскроем скобки: $$ 3x + 6 + 20x + 25 = 2(4x^2 + 8x + 5x + 10) $$ $$ 23x + 31 = 2(4x^2 + 13x + 10) $$ $$ 23x + 31 = 8x^2 + 26x + 20 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 8x^2 + 3x - 11 = 0 $$ Сумма коэффициентов $8 + 3 - 11 = 0$, следовательно: $$ x_1 = 1 $$ $$ x_2 = -\frac{11}{8} = -1{,}375 $$ Значение $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ ($x \neq 1$). Значение $x_2 = -\frac{11}{8}$ удовлетворяет ОДЗ. **Ответ:** $-\frac{11}{8}$.