ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 77

**а)** $x = \sqrt{3x + 40}$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = x$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 = 3x + 40. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x - 40 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 13}{2} = 8 $$ $$ x_2 = \frac{3 - 13}{2} = -5 $$ Проверим условие $x \ge 0$: * $x = 8 \ge 0$ — корень уравнения; * $x = -5 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $8$. --- **б)** $x = \sqrt{10x + 24}$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 = 10x + 24. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 10x - 24 = 0 $$ $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12 $$ $$ x_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2 $$ Проверим условие $x \ge 0$: * $x = 12 \ge 0$ — корень уравнения; * $x = -2 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $12$. --- **в)** $x = \sqrt{5x + 36}$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 = 5x + 36. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 5x - 36 = 0 $$ $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{5 + 13}{2} = 9 $$ $$ x_2 = \frac{5 - 13}{2} = -4 $$ Проверим условие $x \ge 0$: * $x = 9 \ge 0$ — корень уравнения; * $x = -4 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $9$. --- **г)** $x = \sqrt{3x + 28}$ Перейдём к равносильной системе: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ x^2 = 3x + 28. \end{cases} $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 - 3x - 28 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7 $$ $$ x_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4 $$ Проверим условие $x \ge 0$: * $x = 7 \ge 0$ — корень уравнения; * $x = -4 < 0$ — посторонний корень. Ответ: $7$.