ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 79

**а)** $\sqrt{3x+3} = 2x - 3$ Иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x - 3 \ge 0, \\ 3x + 3 = (2x - 3)^2. \end{cases} $$ Решим неравенство системы: $2x \ge 3 \implies x \ge 1{,}5$. Решим уравнение системы: $$ 3x + 3 = 4x^2 - 12x + 9 $$ $$ 4x^2 - 15x + 6 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 225 - 96 = 129 $$ Корни квадратного уравнения: $$ x_1 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8}, \qquad x_2 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} $$ Проверим условие $x \ge 1{,}5$: * Так как $11 < \sqrt{129} < 12$, то: $x_1 = \frac{15 + \sqrt{129}}{8} > \frac{15 + 11}{8} = \frac{26}{8} = 3{,}25 \ge 1{,}5$ — удовлетворяет условию. * Для второго корня: $x_2 = \frac{15 - \sqrt{129}}{8} < \frac{15 - 11}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5 < 1{,}5$ — не удовлетворяет условию (посторонний корень). Ответ: $\frac{15 + \sqrt{129}}{8}$. --- **б)** $\sqrt{3x+2} = 2x - 4$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0, \\ 3x + 2 = (2x - 4)^2. \end{cases} $$ Решим неравенство системы: $2x \ge 4 \implies x \ge 2$. Решим уравнение системы: $$ 3x + 2 = 4x^2 - 16x + 16 $$ $$ 4x^2 - 19x + 14 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 361 - 224 = 137 $$ Корни квадратного уравнения: $$ x_1 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8}, \qquad x_2 = \frac{19 - \sqrt{137}}{8} $$ Проверим условие $x \ge 2$: * Так как $11 < \sqrt{137} < 12$, то: $x_1 = \frac{19 + \sqrt{137}}{8} > \frac{19 + 11}{8} = \frac{30}{8} = 3{,}75 \ge 2$ — удовлетворяет условию. * Для второго корня: $x_2 \ge 2 \iff 19 - \sqrt{137} \ge 16 \iff \sqrt{137} \le 3$, что неверно, так как $\sqrt{137} > 11$. Следовательно, $x_2 < 2$ — посторонний корень. Ответ: $\frac{19 + \sqrt{137}}{8}$.