ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 76

**а)** Решим уравнение: $$ (10x - 5)^2 (10x - 4)(10x - 6) = 72 $$ Заметим, что выражение $10x - 5$ является средним арифметическим множителей $10x - 4$ и $10x - 6$: $10x - 4 = (10x - 5) + 1$, $10x - 6 = (10x - 5) - 1$. Введем замену переменной: пусть $t = 10x - 5$. Уравнение принимает вид: $$ t^2 (t + 1)(t - 1) = 72 $$ Используя формулу разности квадратов, получаем: $$ t^2 (t^2 - 1) = 72 $$ $$ t^4 - t^2 - 72 = 0 $$ Пусть $y = t^2$, где $y \ge 0$. Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $$ y^2 - y - 72 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 9$, $y_2 = -8$ — не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно: $$ t^2 = 9 \iff t = 3 \quad \text{или} \quad t = -3 $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $10x - 5 = 3$ $10x = 8$ $x = 0{,}8$ 2) $10x - 5 = -3$ $10x = 2$ $x = 0{,}2$ Ответ: $0{,}2; \, 0{,}8$. --- **б)** Решим уравнение: $$ (3x + 5)\left(\frac{1}{2}x + 1\right)^2 (3x + 7) = \frac{1}{3} $$ Преобразуем выражение во второй скобке, вынеся множитель $\frac{1}{6}$: $$ \frac{1}{2}x + 1 = \frac{3x + 6}{6} $$ Тогда: $$ \left(\frac{1}{2}x + 1\right)^2 = \left(\frac{3x + 6}{6}\right)^2 = \frac{(3x + 6)^2}{36} $$ Подставим это выражение в уравнение: $$ (3x + 5) \cdot \frac{(3x + 6)^2}{36} \cdot (3x + 7) = \frac{1}{3} $$ Умножим обе части уравнения на $36$: $$ (3x + 5)(3x + 6)^2 (3x + 7) = 12 $$ Введем замену: пусть $t = 3x + 6$. Тогда $3x + 5 = t - 1$, а $3x + 7 = t + 1$. Уравнение принимает вид: $$ (t - 1) t^2 (t + 1) = 12 $$ $$ t^2 (t^2 - 1) = 12 $$ $$ t^4 - t^2 - 12 = 0 $$ Пусть $y = t^2$, где $y \ge 0$: $$ y^2 - y - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $y_1 = 4$, $y_2 = -3$ — не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Значит: $$ t^2 = 4 \iff t = 2 \quad \text{или} \quad t = -2 $$ Вернемся к исходной переменной: 1) $3x + 6 = 2$ $3x = -4$ $x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$ 2) $3x + 6 = -2$ $3x = -8$ $x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$ Ответ: $-2\frac{2}{3}; \, -1\frac{1}{3}$.