ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 86

а) Дано дифференциальное уравнение первого порядка: $$ y' = 4x^3 $$ с начальным условием $y(0) = 1$. 1. Найдем общее решение уравнения путем интегрирования: $$ y = \int 4x^3 \, dx = x^4 + C $$ 2. Найдем постоянную $C$, подставив начальное условие $x = 0$, $y = 1$: $$ 0^4 + C = 1 \implies C = 1 $$ 3. Запишем частное решение: $$ y = x^4 + 1 $$ Ответ: $y = x^4 + 1$. --- б) Дано дифференциальное уравнение первого порядка: $$ y' = 5 \sin x $$ с начальным условием $y(0) = 0$. 1. Найдем общее решение интегрированием: $$ y = \int 5 \sin x \, dx = -5 \cos x + C $$ 2. Подставим начальное условие $x = 0$, $y = 0$: $$ -5 \cos 0 + C = 0 $$ $$ -5 \cdot 1 + C = 0 \implies C = 5 $$ 3. Подставим найденное значение $C$: $$ y = -5 \cos x + 5 $$ Ответ: $y = 5 - 5 \cos x$. --- в) Дано дифференциальное уравнение первого порядка: $$ y' = 6 \cos x $$ с начальным условием $y(\pi) = 5$. 1. Найдем общее решение интегрированием: $$ y = \int 6 \cos x \, dx = 6 \sin x + C $$ 2. Используем условие $x = \pi$, $y = 5$: $$ 6 \sin \pi + C = 5 $$ $$ 6 \cdot 0 + C = 5 \implies C = 5 $$ 3. Получаем частное решение: $$ y = 6 \sin x + 5 $$ Ответ: $y = 6 \sin x + 5$. --- г) Дано дифференциальное уравнение первого порядка: $$ y' = 7 \sin x - 8 \cos x $$ с начальным условием $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. 1. Найдем общее решение, интегрируя правую часть: $$ y = \int (7 \sin x - 8 \cos x) \, dx = -7 \cos x - 8 \sin x + C $$ 2. Подставим условие $x = \frac{\pi}{2}$, $y = 0$: $$ -7 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 8 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 0 $$ $$ -7 \cdot 0 - 8 \cdot 1 + C = 0 $$ $$ -8 + C = 0 \implies C = 8 $$ 3. Запишем искомое частное решение: $$ y = -7 \cos x - 8 \sin x + 8 $$ Ответ: $y = 8 - 7 \cos x - 8 \sin x$. --- д) Дано дифференциальное уравнение второго порядка: $$ y'' = 66x $$ с начальными условиями $y(0) = 1$, $y'(0) = 3$. 1. Проинтегрируем один раз, чтобы найти первую производную $y'$: $$ y' = \int 66x \, dx = 33x^2 + C_1 $$ 2. Найдем постоянную $C_1$, используя условие $y'(0) = 3$: $$ 33 \cdot 0^2 + C_1 = 3 \implies C_1 = 3 $$ Таким образом: $$ y' = 33x^2 + 3 $$ 3. Проинтегрируем функцию $y'$ для нахождения $y$: $$ y = \int (33x^2 + 3) \, dx = 11x^3 + 3x + C_2 $$ 4. Найдем постоянную $C_2$, используя условие $y(0) = 1$: $$ 11 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0 + C_2 = 1 \implies C_2 = 1 $$ 5. Частное решение: $$ y = 11x^3 + 3x + 1 $$ Ответ: $y = 11x^3 + 3x + 1$. --- е) Дано дифференциальное уравнение второго порядка: $$ y'' = -36x $$ с начальными условиями $y(0) = 0$, $y'(0) = 2$. 1. Интегрируем уравнение один раз: $$ y' = \int (-36x) \, dx = -18x^2 + C_1 $$ 2. Найдем $C_1$, подставив $y'(0) = 2$: $$ -18 \cdot 0^2 + C_1 = 2 \implies C_1 = 2 $$ Следовательно: $$ y' = -18x^2 + 2 $$ 3. Интегрируем еще раз: $$ y = \int (-18x^2 + 2) \, dx = -6x^3 + 2x + C_2 $$ 4. Найдем $C_2$, подставив условие $y(0) = 0$: $$ -6 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0 $$ 5. Получаем частное решение: $$ y = -6x^3 + 2x $$ Ответ: $y = -6x^3 + 2x$.