ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 83

а) Дано дифференциальное уравнение $y' = x^3$ и функция $y = \frac{1}{4}x^4 + 5$. 1. Проверим, что функция является решением уравнения. Найдем производную функции $y$: $$ y' = \left(\frac{1}{4}x^4 + 5\right)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 + 0 = x^3 $$ Получили $y' = x^3$, что совпадает с исходным уравнением. Значит, данная функция является решением дифференциального уравнения. 2. Найдем общее решение уравнения путем интегрирования: $$ y = \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** общее решение $y = \frac{1}{4}x^4 + C$, где $C \in \mathbb{R}$. --- б) Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ и функция $y = -\cos x - 1$. 1. Проверим, что функция является решением уравнения. Найдем производную функции $y$: $$ y' = (-\cos x - 1)' = -(-\sin x) - 0 = \sin x $$ Получили $y' = \sin x$, что совпадает с исходным уравнением. Значит, данная функция является решением дифференциального уравнения. 2. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int \sin x\,dx = -\cos x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** общее решение $y = -\cos x + C$, где $C \in \mathbb{R}$. --- в) Дано дифференциальное уравнение $y' = \cos x - 7$ и функция $y = \sin x - 7x + 2$. 1. Проверим, что функция является решением уравнения. Найдем производную функции $y$: $$ y' = (\sin x - 7x + 2)' = \cos x - 7 + 0 = \cos x - 7 $$ Получили $y' = \cos x - 7$, что совпадает с исходным уравнением. Значит, данная функция является решением дифференциального уравнения. 2. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int (\cos x - 7)\,dx = \sin x - 7x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** общее решение $y = \sin x - 7x + C$, где $C \in \mathbb{R}$. --- г) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$ и функция $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x - 3$. 1. Проверим, что функция является решением уравнения. Найдем производную функции $y$: $$ y' = (-3\cos x + 4\sin x + 7x - 3)' = -3(-\sin x) + 4\cos x + 7 - 0 = 3\sin x + 4\cos x + 7 $$ Получили $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$, что совпадает с исходным уравнением. Значит, данная функция является решением дифференциального уравнения. 2. Найдем общее решение уравнения: $$ y = \int (3\sin x + 4\cos x + 7)\,dx = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C $$ где $C$ — произвольная постоянная. **Ответ:** общее решение $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C$, где $C \in \mathbb{R}$.