ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 84

**а)** Проверим, что функция $y = e^{5x}$ удовлетворяет уравнению $y' = 5y$. Найдем производную функции $y$: $$ y' = (e^{5x})' = e^{5x} \cdot (5x)' = 5e^{5x} $$ Подставим $y$ и $y'$ в исходное уравнение: * Левая часть: $y' = 5e^{5x}$; * Правая часть: $5y = 5e^{5x}$. Левая и правая части равны ($5e^{5x} = 5e^{5x}$), следовательно, функция $y = e^{5x}$ является решением данного уравнения. **б)** Проверим, что функция $y = e^{-4x}$ удовлетворяет уравнению $y'' = 16y$. Найдем первую производную функции: $$ y' = (e^{-4x})' = e^{-4x} \cdot (-4x)' = -4e^{-4x} $$ Найдем вторую производную функции: $$ y'' = (-4e^{-4x})' = -4 \cdot e^{-4x} \cdot (-4x)' = -4 \cdot (-4)e^{-4x} = 16e^{-4x} $$ Подставим $y$ и $y''$ в уравнение: * Левая часть: $y'' = 16e^{-4x}$; * Правая часть: $16y = 16e^{-4x}$. Так как $y'' = 16y$ ($16e^{-4x} = 16e^{-4x}$), функция $y = e^{-4x}$ является решением данного уравнения. **в)** Проверим, что функция $y = e^{5x}$ удовлетворяет уравнению $y'' = 25y$. Найдем первую производную: $$ y' = (e^{5x})' = 5e^{5x} $$ Найдем вторую производную: $$ y'' = (5e^{5x})' = 5 \cdot 5e^{5x} = 25e^{5x} $$ Подставим $y$ и $y''$ в уравнение: * Левая часть: $y'' = 25e^{5x}$; * Правая часть: $25y = 25e^{5x}$. Получили верное тождество $25e^{5x} = 25e^{5x}$, значит, функция $y = e^{5x}$ является решением данного уравнения. **г)** Проверим, что функция $y = \sin(3x + 5)$ удовлетворяет уравнению $y'' = -9y$. Найдем первую производную сложной функции: $$ y' = (\sin(3x + 5))' = \cos(3x + 5) \cdot (3x + 5)' = 3\cos(3x + 5) $$ Найдем вторую производную: $$ y'' = (3\cos(3x + 5))' = 3 \cdot (-\sin(3x + 5)) \cdot (3x + 5)' = -9\sin(3x + 5) $$ Подставим $y$ и $y''$ в уравнение: * Левая часть: $y'' = -9\sin(3x + 5)$; * Правая часть: $-9y = -9\sin(3x + 5)$. Равенство выполняется ($-9\sin(3x + 5) = -9\sin(3x + 5)$), следовательно, функция $y = \sin(3x + 5)$ является решением данного уравнения.