ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 87

Найдем общее решение дифференциального уравнения $y'' + 4y = 0$. Составим характеристическое уравнение: $$ k^2 + 4 = 0 $$ $$ k^2 = -4 \implies k_{1,2} = \pm 2i $$ Корни чисто мнимые, поэтому общее решение уравнения имеет вид: $$ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $$ где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные. Найдем производную функции $y(x)$: $$ y'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x) $$ Вычислим значения $y(0)$ и $y'(0)$: $$ y(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = C_1 $$ $$ y'(0) = -2C_1 \sin 0 + 2C_2 \cos 0 = 2C_2 $$ Таким образом, для любых начальных условий при $x = 0$ коэффициенты находятся из соотношений: $$ \begin{cases} C_1 = y(0) \\ 2C_2 = y'(0) \implies C_2 = \dfrac{y'(0)}{2} \end{cases} $$ Найдем частные решения для каждого пункта: а) По условию $y(0) = 2$, $y'(0) = 3$. Подставим эти значения: $$ C_1 = 2 $$ $$ C_2 = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Частное решение: $$ y = 2\cos(2x) + 1{,}5\sin(2x) $$ б) По условию $y(0) = 2$, $y'(0) = 0$. Подставим эти значения: $$ C_1 = 2 $$ $$ C_2 = \frac{0}{2} = 0 $$ Частное решение: $$ y = 2\cos(2x) $$ в) По условию $y(0) = 0$, $y'(0) = 3$. Подставим эти значения: $$ C_1 = 0 $$ $$ C_2 = \frac{3}{2} = 1{,}5 $$ Частное решение: $$ y = 1{,}5\sin(2x) $$ Ответ: а) $y = 2\cos(2x) + 1{,}5\sin(2x)$; б) $y = 2\cos(2x)$; в) $y = 1{,}5\sin(2x)$.