ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 46

Для вычисления определённых интегралов применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_{a}^{b} $$ Для подынтегральной функции $f(x) = x$ первообразной является функция $F(x) = \dfrac{x^2}{2}$. **а)** Вычислим интеграл на отрезке $[0; 1]$: $$ \int_{0}^{1} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} = 0{,}5 $$ **б)** Вычислим интеграл на отрезке $[2; 4]$: $$ \int_{2}^{4} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6 $$ **в)** Вычислим интеграл на отрезке $[3; 7]$: $$ \int_{3}^{7} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{3}^{7} = \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = \frac{40}{2} = 20 $$ Ответ: а) $0{,}5$; б) $6$; в) $20$.