ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 43

Для приближенного вычисления определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ отрезок интегрирования $[a; b]$ разбивают на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ точками: $$ x_k = a + k \cdot \Delta x, \quad k = 0, 1, \dots, n. $$ Приближенное значение интеграла находят с помощью интегральных сумм: — по левым концам отрезков: $s_n = \Delta x \cdot \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$; — по правым концам отрезков: $S_n = \Delta x \cdot \sum_{k=1}^{n} f(x_k)$; — по формуле трапеций (среднее арифметическое левой и правой сумм): $S = \frac{s_n + S_n}{2}$. --- ### а) $\int_{-1}^{1} x \, dx$, $\Delta x = 0,2$ 1. Число отрезков разбиения: $$ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = \frac{2}{0,2} = 10. $$ 2. Точки разбиения: $$ x_0 = -1; \; x_1 = -0,8; \; x_2 = -0,6; \; x_3 = -0,4; \; x_4 = -0,2; \; x_5 = 0; $$ $$ x_6 = 0,2; \; x_7 = 0,4; \; x_8 = 0,6; \; x_9 = 0,8; \; x_{10} = 1. $$ 3. Так как функция $f(x) = x$ нечётная, противоположные по знаку значения взаимно уничтожаются: $$ x_1 + x_2 + \dots + x_9 = (-0,8 + 0,8) + (-0,6 + 0,6) + (-0,4 + 0,4) + (-0,2 + 0,2) + 0 = 0. $$ 4. Вычислим интегральные суммы: — по левым концам: $$ s_{10} = 0,2 \cdot (x_0 + x_1 + \dots + x_9) = 0,2 \cdot (-1 + 0) = -0,2; $$ — по правым концам: $$ S_{10} = 0,2 \cdot (x_1 + \dots + x_9 + x_{10}) = 0,2 \cdot (0 + 1) = 0,2; $$ — наиболее точное приближение (полусумма): $$ S = \frac{s_{10} + S_{10}}{2} = \frac{-0,2 + 0,2}{2} = 0. $$ Точное значение интеграла: $\int_{-1}^{1} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. **Ответ:** $0$ (по левым концам: $-0,2$; по правым: $0,2$). --- ### б) $\int_{-1}^{1} x^3 \, dx$, $\Delta x = 0,2$ 1. Число отрезков разбиения: $$ n = \frac{1 - (-1)}{0,2} = 10. $$ 2. Точки разбиения те же, что и в пункте а): $x_k = -1 + 0,2k$, где $k = 0, 1, \dots, 10$. 3. Функция $f(x) = x^3$ является нечётной, поэтому $x_k^3 + x_{10-k}^3 = 0$ для всех $k$ от $1$ до $9$. Сумма промежуточных значений равна нулю: $$ \sum_{k=1}^{9} x_k^3 = (-0,8)^3 + 0,8^3 + (-0,6)^3 + 0,6^3 + (-0,4)^3 + 0,4^3 + (-0,2)^3 + 0,2^3 + 0^3 = 0. $$ 4. Вычислим интегральные суммы: — по левым концам: $$ s_{10} = 0,2 \cdot \left((-1)^3 + \sum_{k=1}^{9} x_k^3\right) = 0,2 \cdot (-1 + 0) = -0,2; $$ — по правым концам: $$ S_{10} = 0,2 \cdot \left(\sum_{k=1}^{9} x_k^3 + 1^3\right) = 0,2 \cdot (0 + 1) = 0,2; $$ — наиболее точное приближение (полусумма): $$ S = \frac{s_{10} + S_{10}}{2} = \frac{-0,2 + 0,2}{2} = 0. $$ Точное значение интеграла: $\int_{-1}^{1} x^3 \, dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$. **Ответ:** $0$ (по левым концам: $-0,2$; по правым: $0,2$). --- ### в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$, $\Delta x = \frac{\pi}{20}$ 1. Число отрезков разбиения: $$ n = \frac{\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{\frac{\pi}{20}} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{20}} = 20. $$ 2. Точки разбиения: $$ x_k = -\frac{\pi}{2} + k \cdot \frac{\pi}{20}, \quad k = 0, 1, \dots, 20. $$ 3. Функция $f(x) = \sin x$ — нечётная. Точки $x_k$ и $x_{20-k}$ противоположны по знаку ($x_{20-k} = -x_k$), поэтому $\sin(x_{20-k}) = -\sin(x_k)$, а при $k = 10$ имеем $x_{10} = 0$ и $\sin 0 = 0$. Следовательно: $$ \sum_{k=1}^{19} \sin(x_k) = 0. $$ 4. Вычислим интегральные суммы: — по левым концам: $$ s_{20} = \frac{\pi}{20} \cdot \left(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sum_{k=1}^{19} \sin(x_k)\right) = \frac{\pi}{20} \cdot (-1 + 0) = -\frac{\pi}{20} \approx -0,157; $$ — по правым концам: $$ S_{20} = \frac{\pi}{20} \cdot \left(\sum_{k=1}^{19} \sin(x_k) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{20} \cdot (0 + 1) = \frac{\pi}{20} \approx 0,157; $$ — наиболее точное приближение (полусумма): $$ S = \frac{s_{20} + S_{20}}{2} = 0. $$ Точное значение интеграла: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\frac{\pi}{2} - \left(-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = 0$. **Ответ:** $0$ (по левым концам: $-\frac{\pi}{20} \approx -0,157$; по правым: $\frac{\pi}{20} \approx 0,157$). --- ### г) $\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx$, $\Delta x = \frac{\pi}{20}$ 1. Число отрезков разбиения: $$ n = \frac{\pi - 0}{\frac{\pi}{20}} = 20. $$ 2. Точки разбиения: $$ x_k = 0 + k \cdot \frac{\pi}{20} = \frac{k\pi}{20}, \quad k = 0, 1, \dots, 20. $$ 3. Заметим, что $x_k + x_{20-k} = \pi$. По формуле приведения: $$ \cos(x_{20-k}) = \cos(\pi - x_k) = -\cos(x_k) \implies \cos(x_k) + \cos(x_{20-k}) = 0. $$ При $k = 10$ получаем $x_{10} = \frac{\pi}{2}$, $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Значит, сумма промежуточных слагаемых равна нулю: $$ \sum_{k=1}^{19} \cos(x_k) = 0. $$ 4. Вычислим интегральные суммы: — по левым концам: $$ s_{20} = \frac{\pi}{20} \cdot \left(\cos 0 + \sum_{k=1}^{19} \cos(x_k)\right) = \frac{\pi}{20} \cdot (1 + 0) = \frac{\pi}{20} \approx 0,157; $$ — по правым концам: $$ S_{20} = \frac{\pi}{20} \cdot \left(\sum_{k=1}^{19} \cos(x_k) + \cos \pi\right) = \frac{\pi}{20} \cdot (0 - 1) = -\frac{\pi}{20} \approx -0,157; $$ — наиболее точное приближение (полусумма): $$ S = \frac{s_{20} + S_{20}}{2} = 0. $$ Точное значение интеграла: $\int_{0}^{\pi} \cos x \, dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0$. **Ответ:** $0$ (по левым концам: $\frac{\pi}{20} \approx 0,157$; по правым: $-\frac{\pi}{20} \approx -0,157$).