ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 48

Для вычисления определённых интегралов применим формулу Ньютона—Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$ Одной из первообразных для степенной функции $f(x) = x^3$ является функция $F(x) = \frac{x^4}{4}$. **a)** Вычислим интеграл: $$ \int_{0}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4} $$ **b)** Вычислим интеграл: $$ \int_{-1}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0 $$ *(Заметим, что подынтегральная функция $y = x^3$ является нечётной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, поэтому интеграл равен нулю).* **c)** Вычислим интеграл: $$ \int_{2}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{2}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{65}{4} = 16\frac{1}{4} $$ **Ответ:** a) $\frac{1}{4}$ (или $0,25$); b) $0$; c) $\frac{65}{4} = 16\frac{1}{4}$ (или $16,25$).