ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 33

**а)** Пусть $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ — первые шесть членов арифметической прогрессии с разностью $d$. Так как прогрессия возрастающая, то $d > 0$. Обозначим через $x$ среднее арифметическое третьего и четвёртого членов: $x = \frac{a_3 + a_4}{2}$. Пусть $h = \frac{d}{2} > 0$. Тогда члены прогрессии можно записать симметрично относительно $x$: $$ a_1 = x - 5h, \quad a_2 = x - 3h, \quad a_3 = x - h, \quad a_4 = x + h, \quad a_5 = x + 3h, \quad a_6 = x + 5h $$ Рассмотрим сумму пятых степеней этих членов как функцию от переменной $x$: $$ S_5(x) = (x - 5h)^5 + (x - 3h)^5 + (x - h)^5 + (x + h)^5 + (x + 3h)^5 + (x + 5h)^5 $$ Найдём производную этой функции: $$ S_5'(x) = 5\bigl((x - 5h)^4 + (x - 3h)^4 + (x - h)^4 + (x + h)^4 + (x + 3h)^4 + (x + 5h)^4\bigr) $$ Так как $h > 0$, слагаемые в скобках не могут обращаться в ноль одновременно, следовательно, $S_5'(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $S_5(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой и уравнение $S_5(x) = 0$ имеет не более одного корня. Подставим $x = 0$: $$ S_5(0) = (-5h)^5 + (-3h)^5 + (-h)^5 + h^5 + (3h)^5 + (5h)^5 = 0 $$ Значит, $x = 0$ — единственный корень, и члены прогрессии равны: $$ a_1 = -5h, \quad a_2 = -3h, \quad a_3 = -h, \quad a_4 = h, \quad a_5 = 3h, \quad a_6 = 5h $$ Используем условие о сумме четвёртых степеней: $$ (-5h)^4 + (-3h)^4 + (-h)^4 + h^4 + (3h)^4 + (5h)^4 = 49 $$ $$ 2 \cdot (5^4 + 3^4 + 1^4) \cdot h^4 = 49 $$ $$ 2 \cdot (625 + 81 + 1) \cdot h^4 = 49 $$ $$ 2 \cdot 707 \cdot h^4 = 49 $$ $$ 1414 h^4 = 49 \implies h^4 = \frac{49}{1414} = \frac{7}{202} $$ Так как $h > 0$, получаем: $$ h = \sqrt[4]{\frac{7}{202}} $$ Тогда первый член прогрессии равен: $$ a_1 = -5h = -5\sqrt[4]{\frac{7}{202}} $$ **б)** Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_7$ — первые семь членов убывающей арифметической прогрессии с разностью $d < 0$. Так как число членов нечётно, их среднее значение равно центральному члену $a_4$. Обозначим $a_4 = x$. Тогда члены прогрессии имеют вид: $$ a_1 = x - 3d, \quad a_2 = x - 2d, \quad a_3 = x - d, \quad a_4 = x, \quad a_5 = x + d, \quad a_6 = x + 2d, \quad a_7 = x + 3d $$ Сумма пятых степеней членов прогрессии: $$ S_5(x) = (x - 3d)^5 + (x - 2d)^5 + (x - d)^5 + x^5 + (x + d)^5 + (x + 2d)^5 + (x + 3d)^5 $$ Производная функции: $$ S_5'(x) = 5\bigl((x - 3d)^4 + (x - 2d)^4 + (x - d)^4 + x^4 + (x + d)^4 + (x + 2d)^4 + (x + 3d)^4\bigr) $$ Поскольку $d \neq 0$, все слагаемые одновременно в ноль не обращаются, поэтому $S_5'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Функция $S_5(x)$ строго возрастает и принимает значение $0$ ровно один раз. Заметим, что при $x = 0$: $$ S_5(0) = (-3d)^5 + (-2d)^5 + (-d)^5 + 0^5 + d^5 + (2d)^5 + (3d)^5 = 0 $$ Следовательно, $x = 0$, то есть $a_4 = 0$, а члены прогрессии равны: $$ a_1 = -3d, \quad a_2 = -2d, \quad a_3 = -d, \quad a_4 = 0, \quad a_5 = d, \quad a_6 = 2d, \quad a_7 = 3d $$ По условию, сумма четвёртых степеней равна 51: $$ (-3d)^4 + (-2d)^4 + (-d)^4 + 0^4 + d^4 + (2d)^4 + (3d)^4 = 51 $$ $$ 2 \cdot (3^4 + 2^4 + 1^4) \cdot d^4 = 51 $$ $$ 2 \cdot (81 + 16 + 1) \cdot d^4 = 51 $$ $$ 2 \cdot 98 \cdot d^4 = 51 $$ $$ 196 d^4 = 51 \implies d^4 = \frac{51}{196} $$ Так как прогрессия убывающая, её разность $d < 0$: $$ d = -\sqrt[4]{\frac{51}{196}} $$ Найдём седьмой член прогрессии: $$ a_7 = 3d = -3\sqrt[4]{\frac{51}{196}} $$ **Ответ:** а) $-5\sqrt[4]{\frac{7}{202}}$; б) $-3\sqrt[4]{\frac{51}{196}}$.