ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 271

Общее число равновозможных исходов выбора двух домашних работ для проверки из шести равно числу сочетаний из $6$ по $2$: $$ n = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 $$ **а)** Аня не выполнила 1 работу, следовательно, 5 работ выполнены. Отметку «1» она получит, если среди двух выбранных учителем работ окажется эта невыполненная работа (и одна выполненная из 5 оставшихся). Число благоприятных исходов: $$ m = C_1^1 \cdot C_5^1 = 1 \cdot 5 = 5 $$ Вероятность события $A$: $$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} $$ **б)** Боря не выполнил 2 работы, значит, 4 работы выполнены. Боря получит ровно одну «1», если учитель проверит одну невыполненную работу из 2 и одну выполненную из 4. Число благоприятных исходов: $$ m = C_2^1 \cdot C_4^1 = 2 \cdot 4 = 8 $$ Вероятность события $B$: $$ P(B) = \frac{m}{n} = \frac{8}{15} $$ **в)** Вася не выполнил 2 работы, значит, 4 работы выполнены. Событие $\overline{C}$, противоположное событию $C$, заключается в том, что Вася не получит ни одной «1». Это произойдёт, если учитель выберет для проверки 2 работы из 4 выполненных. Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{C}$: $$ m(\overline{C}) = C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 $$ Вероятность противоположного события: $$ P(\overline{C}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} $$ Тогда вероятность события $C$: $$ P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$ **г)** Гоша не выполнил 3 работы, значит, 3 работы выполнены. Гоша получит ровно одну «1», если учитель выберет одну невыполненную работу из 3 и одну выполненную из 3. Число благоприятных исходов: $$ m = C_3^1 \cdot C_3^1 = 3 \cdot 3 = 9 $$ Вероятность события $D$: $$ P(D) = \frac{m}{n} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $$ **д)** Денис не выполнил 3 работы, значит, 3 работы выполнены. Событие $\overline{E}$, противоположное событию $E$, заключается в том, что Денис не получит ни одной «1» (учитель выберет для проверки 2 работы из 3 выполненных). Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{E}$: $$ m(\overline{E}) = C_3^2 = 3 $$ Вероятность противоположного события: $$ P(\overline{E}) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $$ Тогда вероятность события $E$: $$ P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $$ **Ответ:** а) $\dfrac{1}{3}$; б) $\dfrac{8}{15}$; в) $\dfrac{3}{5}$; г) $\dfrac{3}{5}$; д) $\dfrac{4}{5}$.