ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 274

Пусть $t = x^2 + a$. Так как $x^2 \ge 0$, то: - при $a = 0$ область определения функции задается условием $x \ne 0$, откуда $t = x^2 > 0$, то есть $t \in (0; +\infty)$; - при $a > 0$ знаменатель $x^2 + a \ge a > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, поэтому функция определена для любого $x$, а переменная $t \in [a; +\infty)$. Рассмотрим функцию: $$g(t) = t + \frac{1}{t}, \quad t > 0.$$ Найдем ее производную: $$g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2} = \frac{(t - 1)(t + 1)}{t^2}.$$ При $t > 0$: - если $0 < t < 1$, то $g'(t) < 0$, следовательно, функция $g(t)$ убывает; - если $t > 1$, то $g'(t) > 0$, следовательно, функция $g(t)$ возрастает; - в точке $t = 1$ функция имеет локальный минимум, причем $g(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$. Исследуем наименьшее значение функции в зависимости от неотрицательного параметра $a$: 1. Пусть $0 \le a \le 1$. В этом случае точка $t = 1$ входит в область значений величины $t = x^2 + a$, так как уравнение $x^2 + a = 1$ имеет решения: $$x^2 = 1 - a \iff x = \pm\sqrt{1 - a}.$$ При $a = 0$ получаем $x = \pm 1 \ne 0$. Значит, значение $t = 1$ достигается, и наименьшее значение функции равно: $$f_{\text{наим}} = g(1) = 2.$$ 2. Пусть $a > 1$. В этом случае $t \ge a > 1$. Так как на промежутке $[a; +\infty)$ функция $g(t)$ строго возрастает, свое наименьшее значение она принимает при наименьшем возможном значении аргумента $t$, то есть при $t = a$. Значение $t = a$ достигается при $x = 0$. Тогда наименьшее значение функции равно: $$f_{\text{наим}} = g(a) = a + \frac{1}{a}.$$ Ответ: если $0 \le a \le 1$, то наименьшее значение равно $2$; если $a > 1$, то наименьшее значение равно $a + \frac{1}{a}$.