ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 268

а) Пусть $S$ — расстояние между городом и деревней (в км), $v$ — скорость пешеходов П₁ и П₂ (в км/ч), а скорость бегуна Б равна $v_Б = 12$ км/ч. 1. Бегун Б и пешеход П₂ двигались навстречу друг другу. Время до их встречи равно: $$ t_1 = \frac{S}{12 + v}\text{ (ч).} $$ К моменту встречи пешеход П₂ прошёл от деревни расстояние $S_1 = v t_1$ км. Значит, место встречи находилось на расстоянии $v t_1$ км от деревни. 2. Пусть $\tau$ (ч) — время, которое Б и П₂ стояли на месте ($\tau > 0$). После этого оба направились в деревню: — Бегун Б побежал с прежней скоростью 12 км/ч и преодолел оставшееся расстояние $v t_1$ за время $\frac{v t_1}{12}$ ч. Общее время в пути бегуна Б: $$ T_Б = t_1 + \tau + \frac{v t_1}{12}\text{ (ч).} $$ — Пешеход П₂ пошёл обратно в деревню со скоростью, уменьшенной в 1,5 раза, то есть со скоростью $\frac{v}{1{,}5} = \frac{2}{3}v$ км/ч. Время его возвращения в деревню равно: $$ \frac{v t_1}{\frac{2}{3}v} = 1{,}5 t_1\text{ (ч).} $$ Общее время движения пешехода П₂ от начала пути до прибытия в деревню: $$ T_{П2} = t_1 + \tau + 1{,}5 t_1 = 2{,}5 t_1 + \tau\text{ (ч).} $$ 3. Пешеход П₁ двигался из города в деревню без остановок с постоянной скоростью $v$ км/ч. Время его движения: $$ T_{П1} = \frac{S}{v} = \frac{(12 + v)t_1}{v} = t_1 + \frac{12 t_1}{v}\text{ (ч).} $$ 4. По условию оба пешехода пришли в деревню одновременно ($T_{П1} = T_{П2}$): $$ t_1 + \frac{12 t_1}{v} = 2{,}5 t_1 + \tau, $$ откуда выразим длительность остановки $\tau$: $$ \tau = t_1 \left(\frac{12}{v} - 1{,}5\right). $$ Так как $\tau > 0$ и $t_1 > 0$, получаем условие: $\frac{12}{v} - 1{,}5 > 0 \implies v < 8$. 5. Бегун Б прибежал в деревню первым, а пешеходы пришли на $2\tau$ позже ($T_{П2} - T_Б = 2\tau$): $$ (2{,}5 t_1 + \tau) - \left(t_1 + \tau + \frac{v t_1}{12}\right) = 2\tau, $$ $$ 1{,}5 t_1 - \frac{v t_1}{12} = 2\tau \implies \tau = t_1 \left(0{,}75 - \frac{v}{24}\right). $$ 6. Приравняем два выражения для $\tau$: $$ t_1 \left(\frac{12}{v} - 1{,}5\right) = t_1 \left(0{,}75 - \frac{v}{24}\right). $$ Так как $t_1 \neq 0$: $$ \frac{12}{v} + \frac{v}{24} = 2{,}25. $$ Умножим обе части уравнения на $24v$: $$ 288 + v^2 = 54v, $$ $$ v^2 - 54v + 288 = 0. $$ Найдем корни уравнения: $D = 54^2 - 4 \cdot 288 = 2916 - 1152 = 1764 = 42^2$; $$ v_1 = \frac{54 - 42}{2} = 6, \quad v_2 = \frac{54 + 42}{2} = 48. $$ С учётом условия $v < 8$ корень $v = 48$ является посторонним (при нём $\tau < 0$). Значит, скорость пешехода равна 6 км/ч. Ответ: 6 км/ч. --- б) Пусть $S$ — расстояние между городом и деревней (в км), $u$ — скорость велосипедиста В (в км/ч). Скорости мотоциклистов равны $v_M = 30$ км/ч. 1. Велосипедист В и мотоциклист М₂ выехали навстречу друг другу. Время до их встречи равно: $$ t_1 = \frac{S}{u + 30}\text{ (ч).} $$ За это время М₂ отъехал от деревни на расстояние $30 t_1$ км. Значит, место встречи находится на расстоянии $30 t_1$ км от деревни. 2. Пусть $\tau$ (ч) — длительность встречи (время стоянки, $\tau > 0$). После этого оба направились в деревню: — Велосипедист В продолжил движение с прежней скоростью $u$ км/ч и проехал оставшиеся $30 t_1$ км за время $\frac{30 t_1}{u}$ ч. Общее время В в пути: $$ T_В = t_1 + \tau + \frac{30 t_1}{u}\text{ (ч).} $$ — Мотоциклист М₂ направился обратно в деревню со скоростью, уменьшенной в 3 раза, то есть со скоростью $\frac{30}{3} = 10$ км/ч. Время его возвращения равно $\frac{30 t_1}{10} = 3 t_1$ ч. Общее время М₂ в пути: $$ T_{M2} = t_1 + \tau + 3 t_1 = 4 t_1 + \tau\text{ (ч).} $$ 3. Мотоциклист М₁ ехал из города в деревню без остановок с постоянной скоростью 30 км/ч. Время его пути: $$ T_{M1} = \frac{S}{30} = \frac{(u + 30)t_1}{30} = t_1 + \frac{u t_1}{30}\text{ (ч).} $$ 4. По условию М₁ и М₂ прибыли в деревню одновременно ($T_{M1} = T_{M2}$): $$ t_1 + \frac{u t_1}{30} = 4 t_1 + \tau \implies \tau = t_1 \left(\frac{u}{30} - 3\right). $$ Так как $\tau > 0$ и $t_1 > 0$, получаем условие: $\frac{u}{30} - 3 > 0 \implies u > 90$. 5. Велосипедист В приехал в деревню через промежуток времени, в 10 раз больший длительности стоянки ($T_В - T_{M2} = 10\tau$): $$ \left(t_1 + \tau + \frac{30 t_1}{u}\right) - (4 t_1 + \tau) = 10\tau, $$ $$ \frac{30 t_1}{u} - 3 t_1 = 10\tau \implies \tau = t_1 \left(\frac{3}{u} - 0{,}3\right). $$ Так как $\tau > 0$ и $t_1 > 0$, получаем условие: $\frac{3}{u} - 0{,}3 > 0 \implies u < 10$. 6. Приравнивая выражения для $\tau$, получаем уравнение: $$ t_1 \left(\frac{u}{30} - 3\right) = t_1 \left(\frac{3}{u} - 0{,}3\right). $$ Так как $t_1 \neq 0$: $$ \frac{u}{30} - \frac{3}{u} = 2{,}7. $$ Умножим обе части уравнения на $30u$: $$ u^2 - 90 = 81u, $$ $$ u^2 - 81u - 90 = 0. $$ Дискриминант уравнения: $D = 81^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 6561 + 360 = 6921 = 9 \cdot 769$. Единственный положительный корень: $$ u = \frac{81 + 3\sqrt{769}}{2} \approx 82{,}1\text{ км/ч.} $$ 7. Анализ физической реализуемости: Значение $u \approx 82{,}1$ не удовлетворяет ни условию $u > 90$, ни условию $u < 10$. При подстановке данного значения длительность стоянки оказывается отрицательной: $$ \tau = t_1 \left(\frac{u}{30} - 3\right) \approx -0{,}26 t_1 < 0, $$ что противоречит условию задачи ($\tau > 0$). Таким образом, описанная в условии ситуация физически невозможна. Ответ: задача не имеет решений (формальный корень уравнения: $\frac{81 + 3\sqrt{769}}{2}$ км/ч).