ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 272

Пусть событие $A_i$ означает попадание в $i$-ю мишень ($i = 1, 2, 3$), а событие $\overline{A}_i$ — промах по $i$-й мишени. По условию выстрелы по мишеням независимы. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $p = 0{,}9$. Тогда вероятность промаха равна: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}9 = 0{,}1 $$ а) Событие состоит в том, что стрелок промахнулся по первой мишени и попал во вторую и третью мишени. Так как выстрелы независимы, вероятность данного события равна произведению соответствующих вероятностей: $$ P = P(\overline{A}_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = q \cdot p \cdot p = 0{,}1 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}081 $$ б) Событие «стрелок попал в какие-либо две мишени и не попал в третью» означает, что произошло ровно два попадания из трёх выстрелов. Это может произойти тремя несовместными способами: 1. промах по первой мишени, попадания во вторую и третью: $\overline{A}_1 A_2 A_3$; 2. попадание в первую, промах по второй, попадание в третью: $A_1 \overline{A}_2 A_3$; 3. попадания в первую и вторую, промах по третьей: $A_1 A_2 \overline{A}_3$. Вероятность каждого из этих исходов одинакова и равна $p^2 \cdot q$. По формуле Бернулли (или сумме вероятностей несовместных событий): $$ P = C_3^2 \cdot p^2 \cdot q = 3 \cdot 0{,}9^2 \cdot 0{,}1 = 3 \cdot 0{,}81 \cdot 0{,}1 = 0{,}243 $$ в) Событие состоит в том, что стрелок попал в первую мишень и не попал во вторую и третью мишени: $$ P = P(A_1) \cdot P(\overline{A}_2) \cdot P(\overline{A}_3) = p \cdot q \cdot q = 0{,}9 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}009 $$ г) Событие «стрелок попал ровно в одну мишень» означает ровно одно попадание из трёх выстрелов. Мишень, в которую попал стрелок, можно выбрать тремя способами ($C_3^1 = 3$): $$ P = C_3^1 \cdot p \cdot q^2 = 3 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1^2 = 3 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}01 = 0{,}027 $$ д) Событие «стрелок попал хотя бы в одну мишень» противоположно событию «стрелок не попал ни в одну из трёх мишеней» (все три раза промахнулся). Вероятность промахнуться по всем трём мишеням: $$ P(\text{ни одного попадания}) = q^3 = 0{,}1^3 = 0{,}001 $$ Тогда вероятность противоположного события: $$ P = 1 - P(\text{ни одного попадания}) = 1 - 0{,}001 = 0{,}999 $$ **Ответ:** а) $0{,}081$; б) $0{,}243$; в) $0{,}009$; г) $0{,}027$; д) $0{,}999$.