ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 238

Дано квадратное уравнение: $$ x^2 + (4c - c^2 - 1)x + 2c^2 - 1 = 0 $$ По условию корни уравнения $x_1$ и $x_2$ являются действительными числами и их сумма равна $6$. 1. По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком: $$ x_1 + x_2 = -(4c - c^2 - 1) = c^2 - 4c + 1 $$ Так как $x_1 + x_2 = 6$, получаем уравнение: $$ c^2 - 4c + 1 = 6 $$ $$ c^2 - 4c - 5 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение относительно $c$: $$ (c - 5)(c + 1) = 0 $$ $$ c_1 = 5, \quad c_2 = -1 $$ 2. Для того чтобы корни исходного уравнения были действительными, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$). Так как при выполнении условия $x_1 + x_2 = 6$ коэффициент при $x$ равен $-6$, исходное уравнение принимает вид: $$ x^2 - 6x + 2c^2 - 1 = 0 $$ Вычислим дискриминант данного уравнения: $$ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2c^2 - 1) = 36 - 8c^2 + 4 = 40 - 8c^2 $$ Условие существования действительных корней: $$ 40 - 8c^2 \ge 0 $$ $$ 8c^2 \le 40 $$ $$ c^2 \le 5 $$ 3. Проверим найденные значения параметра $c$: * При $c = 5$: $$ c^2 = 25 > 5 $$ Дискриминант $D = 40 - 8 \cdot 25 = -160 < 0$, следовательно, действительных корней нет. Значение $c = 5$ не подходит. * При $c = -1$: $$ c^2 = (-1)^2 = 1 \le 5 $$ Дискриминант $D = 40 - 8 \cdot 1 = 32 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Значение $c = -1$ удовлетворяет всем условиям задачи. Ответ: $c = -1$.