ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 237

**а)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{4} \\ \cos x \geq 0 \\ \cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4} \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, выразив $\sin^2 x$ и $\cos^2 y$ через $\cos^2 x$ и $\sin^2 y$, используя основное тригонометрическое тождество: $$ (1 - \cos^2 x) + (1 - \sin^2 y) = \frac{3}{4} $$ $$ 2 - (\cos^2 x + \sin^2 y) = \frac{3}{4} $$ $$ \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{5}{4} $$ Возведём третье уравнение системы в квадрат: $$ \cos^2 x \sin^2 y = \left(\frac{\sqrt{6}}{4}\right)^2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $$ Пусть $u = \cos^2 x$ и $v = \sin^2 y$. Тогда $u$ и $v$ удовлетворяют системе: $$ \begin{cases} u + v = \frac{5}{4} \\ u \cdot v = \frac{3}{8} \end{cases} $$ По теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения: $$ t^2 - \frac{5}{4}t + \frac{3}{8} = 0 $$ Умножим обе части уравнения на $8$: $$ 8t^2 - 10t + 3 = 0 $$ $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4 $$ $$ t_1 = \frac{10 + 2}{16} = \frac{3}{4}, \quad t_2 = \frac{10 - 2}{16} = \frac{1}{2} $$ Так как по условию $\cos x \geq 0$ и $\cos x \sin y = \frac{\sqrt{6}}{4} > 0$, получаем, что $\cos x > 0$ и $\sin y > 0$. Следовательно, $\cos x = \sqrt{u}$ и $\sin y = \sqrt{v}$. Рассмотрим два возможных случая: 1) $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ и $\sin^2 y = \frac{1}{2}$. Так как $\cos x > 0$ и $\sin y > 0$: $$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ y = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ 2) $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ и $\sin^2 y = \frac{3}{4}$. Так как $\cos x > 0$ и $\sin y > 0$: $$ \begin{cases} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ y = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ **Ответ к пункту а):** $\left(\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \, (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$, $\left(\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \, (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$. --- **б)** Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \cos^2 x + \sin^2 y = \frac{1}{2} \\ \sin x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $$ Выразим слагаемые первого уравнения через $\sin^2 x$ и $\cos^2 y$: $$ (1 - \sin^2 x) + (1 - \cos^2 y) = \frac{1}{2} $$ $$ 2 - (\sin^2 x + \cos^2 y) = \frac{1}{2} $$ $$ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{3}{2} $$ Возведём второе уравнение системы в квадрат: $$ \sin^2 x \cos^2 y = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} $$ Пусть $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 y$. Получаем систему: $$ \begin{cases} a + b = \frac{3}{2} \\ a \cdot b = \frac{9}{16} \end{cases} $$ По теореме Виета $a$ и $b$ являются корнями уравнения: $$ t^2 - \frac{3}{2}t + \frac{9}{16} = 0 $$ Умножим обе части на $16$: $$ 16t^2 - 24t + 9 = 0 $$ $$ (4t - 3)^2 = 0 \implies t = \frac{3}{4} $$ Значит, $a = \frac{3}{4}$ и $b = \frac{3}{4}$, то есть: $$ \sin^2 x = \frac{3}{4}, \quad \cos^2 y = \frac{3}{4} $$ Так как $\sin x \cos y = \frac{3}{4} > 0$, значения $\sin x$ и $\cos y$ имеют одинаковые знаки. Возможны два случая: 1) $\sin x > 0$ и $\cos y > 0$: $$ \begin{cases} \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ 2) $\sin x < 0$ и $\cos y < 0$: $$ \begin{cases} \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \implies \begin{cases} x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ y = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ **Ответ к пункту б):** $\left((-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k; \, \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\right)$, $\left((-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k; \, \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.