ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 239

**а)** Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $y = x^2 + 3x + a$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3, \\ x_1 x_2 = a. \end{cases} $$ Преобразуем данное соотношение $x_1^2 + x_2^2 = 5$, выделив полный квадрат суммы: $$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 $$ Подставим значения суммы и произведения корней: $$ (-3)^2 - 2a = 5 $$ $$ 9 - 2a = 5 \implies 2a = 4 \implies a = 2 $$ Проверим наличие действительных корней трёхчлена при $a = 2$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 > 0 $$ Дискриминант положителен, следовательно, трёхчлен имеет два различных действительных корня. Таким образом, необходимо построить график функции: $$ y = x^2 + 3x + 2 $$ Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как старший коэффициент $1 > 0$). 1. Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1{,}5 $$ $$ y_0 = (-1{,}5)^2 + 3 \cdot (-1{,}5) + 2 = 2{,}25 - 4{,}5 + 2 = -0{,}25 $$ Вершина параболы находится в точке $(-1{,}5; -0{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы — прямая $x = -1{,}5$. 3. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 + 3x + 2 = 0 \implies (x + 1)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2,\; x_2 = -1 $$ Точки пересечения: $(-2; 0)$ и $(-1; 0)$. 4. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = 0^2 + 3 \cdot 0 + 2 = 2$, точка $(0; 2)$. 5. Дополнительные точки для точного построения: * при $x = -3$: $y = (-3)^2 + 3(-3) + 2 = 2$, точка $(-3; 2)$ (симметрична точке $(0; 2)$); * при $x = 1$: $y = 1^2 + 3 \cdot 1 + 2 = 6$, точка $(1; 6)$; * при $x = -4$: $y = (-4)^2 + 3(-4) + 2 = 6$, точка $(-4; 6)$. Для построения графика нанесите на координатную плоскость вершину $(-1{,}5; -0{,}25)$, найденные точки и соедините их плавной непрерывной линией. --- **б)** Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $y = x^2 - x - a$. По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1, \\ x_1 x_2 = -a. \end{cases} $$ Преобразуем сумму кубов корней $x_1^3 + x_2^3 = 4$ по формуле сокращенного умножения: $$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2) $$ Подставим значения суммы и произведения корней: $$ 1 \cdot (1^2 - 3(-a)) = 4 $$ $$ 1 + 3a = 4 \implies 3a = 3 \implies a = 1 $$ Проверим наличие действительных корней трёхчлена при $a = 1$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5 > 0 $$ Дискриминант положителен, действительные корни существуют. Таким образом, необходимо построить график функции: $$ y = x^2 - x - 1 $$ Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. 1. Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$: $$ x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = 0{,}5 $$ $$ y_0 = (0{,}5)^2 - 0{,}5 - 1 = 0{,}25 - 0{,}5 - 1 = -1{,}25 $$ Вершина параболы находится в точке $(0{,}5; -1{,}25)$. 2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 0{,}5$. 3. Точки пересечения с осью $Ox$ ($y = 0$): $$ x^2 - x - 1 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ $$ x_1 \approx 1{,}62, \quad x_2 \approx -0{,}62 $$ Точки пересечения: $\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; 0\right)$ и $\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; 0\right)$. 4. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x = 0$): $y = 0^2 - 0 - 1 = -1$, точка $(0; -1)$. 5. Дополнительные точки для точного построения: * при $x = 1$: $y = 1^2 - 1 - 1 = -1$, точка $(1; -1)$ (симметрична точке $(0; -1)$); * при $x = 2$: $y = 2^2 - 2 - 1 = 1$, точка $(2; 1)$; * при $x = -1$: $y = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1$, точка $(-1; 1)$; * при $x = 3$: $y = 3^2 - 3 - 1 = 5$, точка $(3; 5)$; * при $x = -2$: $y = (-2)^2 - (-2) - 1 = 5$, точка $(-2; 5)$. Для построения графика нанесите на координатную плоскость вершину $(0{,}5; -1{,}25)$, точки пересечения с осями и дополнительные точки, после чего проведите через них параболу.