ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 235

а) Решим систему неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{7x}{3} - \frac{11(x+3)}{6} \geqslant \frac{3x-1}{5} - \frac{13-x}{2}, \\ (1-x)^2 \leqslant (x+5)(x-1). \end{array} \right. $$ 1. Решим первое неравенство системы. Для этого умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, равный $30$: $$ 10 \cdot 7x - 5 \cdot 11(x+3) \geqslant 6(3x-1) - 15(13-x) $$ Раскроем скобки: $$ 70x - 55(x+3) \geqslant 18x - 6 - 195 + 15x $$ $$ 70x - 55x - 165 \geqslant 33x - 201 $$ $$ 15x - 165 \geqslant 33x - 201 $$ Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую: $$ 15x - 33x \geqslant -201 + 165 $$ $$ -18x \geqslant -36 $$ Разделим обе части на $-18$, изменив знак неравенства: $$ x \leqslant 2 $$ 2. Решим второе неравенство системы: $$ (1-x)^2 \leqslant (x+5)(x-1) $$ Так как $(1-x)^2 = (x-1)^2$, перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (x-1)^2 - (x+5)(x-1) \leqslant 0 $$ Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки: $$ (x-1)((x-1) - (x+5)) \leqslant 0 $$ $$ (x-1)(x - 1 - x - 5) \leqslant 0 $$ $$ -6(x-1) \leqslant 0 $$ Разделим обе части на $-6$, изменив знак неравенства: $$ x - 1 \geqslant 0 \implies x \geqslant 1 $$ 3. Пересечем решения первого и второго неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{l} x \leqslant 2, \\ x \geqslant 1 \end{array} \right. \implies 1 \leqslant x \leqslant 2 $$ Ответ к пункту а: $x \in [1; 2]$. --- б) Решим систему неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{3 + \frac{15}{12-x}} - 8\sqrt{\frac{1}{3} - \frac{5}{51-3x}} > -2, \\ \sqrt{x^2 - 3x - 10} \leqslant 2x + 4. \end{array} \right. $$ 1. Преобразуем подкоренные выражения в первом неравенстве. Для первого корня: $$ 3 + \frac{15}{12-x} = \frac{3(12-x) + 15}{12-x} = \frac{36 - 3x + 15}{12-x} = \frac{51-3x}{12-x} $$ Для второго корня: $$ \frac{1}{3} - \frac{5}{51-3x} = \frac{1}{3} - \frac{5}{3(17-x)} = \frac{17-x-5}{3(17-x)} = \frac{12-x}{3(17-x)} = \frac{12-x}{51-3x} $$ Заметим, что выражения под корнями взаимно обратны. Пусть $t = \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}}$, причем $t > 0$. Тогда неравенство принимает вид: $$ t - \frac{8}{t} > -2 $$ Так как $t > 0$, умножим обе части неравенства на $t$: $$ t^2 - 8 > -2t $$ $$ t^2 + 2t - 8 > 0 $$ $$ (t+4)(t-2) > 0 $$ Поскольку $t > 0$, множитель $t+4 > 0$, следовательно: $$ t - 2 > 0 \implies t > 2 $$ Вернемся к переменной $x$: $$ \sqrt{\frac{51-3x}{12-x}} > 2 $$ Обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $$ \frac{51-3x}{12-x} > 4 $$ $$ \frac{51-3x - 4(12-x)}{12-x} > 0 $$ $$ \frac{51 - 3x - 48 + 4x}{12-x} > 0 $$ $$ \frac{x+3}{12-x} > 0 $$ $$ \frac{x+3}{x-12} < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем решение первого неравенства: $$ x \in (-3; 12) $$ 2. Решим второе неравенство системы: $$ \sqrt{x^2 - 3x - 10} \leqslant 2x + 4 $$ Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \leqslant g(x)$ равносильно системе: $$ \left\{ \begin{array}{l} x^2 - 3x - 10 \geqslant 0, \\ 2x + 4 \geqslant 0, \\ x^2 - 3x - 10 \leqslant (2x + 4)^2. \end{array} \right. $$ Решим каждое неравенство: * $x^2 - 3x - 10 \geqslant 0 \implies (x-5)(x+2) \geqslant 0 \implies x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty)$; * $2x + 4 \geqslant 0 \implies x \geqslant -2$; * $x^2 - 3x - 10 \leqslant 4x^2 + 16x + 16 \implies 3x^2 + 19x + 26 \geqslant 0$. Найдем корни уравнения $3x^2 + 19x + 26 = 0$: $$ D = 19^2 - 4 \cdot 3 \cdot 26 = 361 - 312 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = \frac{-19 - 7}{6} = -\frac{13}{3}, \quad x_2 = \frac{-19 + 7}{6} = -2 $$ Тогда неравенство $3\left(x + \frac{13}{3}\right)(x + 2) \geqslant 0$ дает: $$ x \in \left(-\infty; -\frac{13}{3}\right] \cup [-2; +\infty) $$ Пересечем условия для второго неравенства: $$ \left\{ \begin{array}{l} x \in (-\infty; -2] \cup [5; +\infty), \\ x \geqslant -2, \\ x \in \left(-\infty; -\frac{13}{3}\right] \cup [-2; +\infty) \end{array} \right. \implies x \in \{-2\} \cup [5; +\infty) $$ 3. Найдем общее решение системы, пересекая результаты первого и второго неравенств: $$ x \in (-3; 12) \cap (\{-2\} \cup [5; +\infty)) $$ Точка $x = -2$ входит в интервал $(-3; 12)$, а пересечение интервалов $[5; +\infty)$ и $(-3; 12)$ дает полуинтервал $[5; 12)$. Таким образом, получаем: $$ x = -2 \quad \text{или} \quad x \in [5; 12) $$ Ответ к пункту б: $x \in \{-2\} \cup [5; 12)$.