ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 240

**а)** Перенесем слагаемое $x$ в левую часть уравнения: $$ 2|x + 1| - 2|x - 2| + |x - 6| - x = 3a $$ Рассмотрим функцию $f(x) = 2|x + 1| - 2|x - 2| + |x - 6| - x$. Она является кусочно-линейной и непрерывной на всей числовой прямой. Найдем значения функции в точках излома: - $f(-1) = 2 \cdot 0 - 2 \cdot 3 + 7 - (-1) = 2$; - $f(2) = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 0 + 4 - 2 = 8$; - $f(6) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 4 + 0 - 6 = 0$. Раскроем модули на промежутках: 1. При $x \le -1$: $$ f(x) = -2(x + 1) + 2(x - 2) - (x - 6) - x = -2x $$ Функция убывает от $+\infty$ до $2$. 2. При $-1 \le x \le 2$: $$ f(x) = 2(x + 1) + 2(x - 2) - (x - 6) - x = 2x + 4 $$ Функция возрастает от $2$ до $8$. 3. При $2 \le x \le 6$: $$ f(x) = 2(x + 1) - 2(x - 2) - (x - 6) - x = -2x + 12 $$ Функция убывает от $8$ до $0$. 4. При $x \ge 6$: $$ f(x) = 2(x + 1) - 2(x - 2) + (x - 6) - x = 0 $$ Функция постоянна: $f(x) = 0$. Число корней уравнения $f(x) = 3a$ равно количеству точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с горизонтальной прямой $y = 3a$: - при $3a < 0$ корней нет; - при $3a = 0$ уравнение имеет бесконечно много корней (луч $[6; +\infty)$); - при $0 < 3a < 2$ прямая пересекает график только на отрезке $(2; 6)$ — ровно один корень; - при $3a = 2$ прямая пересекает график в точках $x = -1$ и $x = 5$ — два корня; - при $2 < 3a < 8$ прямая пересекает график трижды — три корня; - при $3a = 8$ два корня; - при $3a > 8$ прямая пересекает только луч $(-\infty; -1)$ — ровно один корень. Таким образом, ровно один корень будет при: $$ 3a \in (0; 2) \cup (8; +\infty) \iff a \in \left(0; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{8}{3}; +\infty\right) $$ **Ответ к пункту а:** $a \in \left(0; \frac{2}{3}\right) \cup \left(\frac{8}{3}; +\infty\right)$. --- **б)** Запишем уравнение в виде: $$ 2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4| - x = 2a $$ Рассмотрим функцию $g(x) = 2|x + 3| - 2|x - 2| + |x - 4| - x$. Она непрерывна на $\mathbb{R}$. Вычислим значения в точках излома: - $g(-3) = 0 - 2 \cdot 5 + 7 - (-3) = 0$; - $g(2) = 2 \cdot 5 - 0 + 2 - 2 = 10$; - $g(4) = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 2 + 0 - 4 = 6$. Раскрывая модули на промежутках, получаем: 1. При $x \le -3$: $g(x) = -2(x + 3) + 2(x - 2) - (x - 4) - x = -2x - 6$ (убывает от $+\infty$ до $0$). 2. При $-3 \le x \le 2$: $g(x) = 2(x + 3) + 2(x - 2) - (x - 4) - x = 2x + 6$ (возрастает от $0$ до $10$). 3. При $2 \le x \le 4$: $g(x) = 2(x + 3) - 2(x - 2) - (x - 4) - x = -2x + 14$ (убывает от $10$ до $6$). 4. При $x \ge 4$: $g(x) = 2(x + 3) - 2(x - 2) + (x - 4) - x = 6$ (постоянна). Количество корней уравнения $g(x) = 2a$ в зависимости от $2a$: - при $2a < 0$ корней нет; - при $2a = 0$ один корень ($x = -3$); - при $0 < 2a < 6$ прямая $y = 2a$ пересекает график дважды (на луче $(-\infty; -3)$ и на отрезке $(-3; 2)$) — ровно два корня; - при $2a = 6$ бесконечно много корней (луч $[4; +\infty)$ и точка на промежутке $(-\infty; 2)$); - при $6 < 2a < 10$ три корня; - при $2a = 10$ ровно два корня (на луче $(-\infty; -3)$ и вершина $x = 2$); - при $2a > 10$ один корень. Уравнение имеет ровно два корня, если: $$ 2a \in (0; 6) \cup \{10\} \iff a \in (0; 3) \cup \{5\} $$ **Ответ к пункту б:** $a \in (0; 3) \cup \{5\}$. --- **в)** Уравнение $|x^2 - 8x - a| = 4x$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 4x \ge 0, \\ \left[\begin{array}{l} x^2 - 8x - a = 4x, \\ x^2 - 8x - a = -4x \end{array}\right. \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0, \\ \left[\begin{array}{l} a = x^2 - 12x, \\ a = x^2 - 4x \end{array}\right. \end{cases} $$ Пусть $f_1(x) = x^2 - 12x$ и $f_2(x) = x^2 - 4x$. Корнями исходного уравнения являются значения $x \ge 0$, при которых $f_1(x) = a$ или $f_2(x) = a$. 1. Условие «ровно один корень, меньший 1»: Корни должны принадлежать промежутку $[0; 1)$. - При $x \in [0; 1)$ функция $f_1(x)$ строго убывает от $f_1(0) = 0$ до $f_1(1) = -11$. Значит, уравнение $f_1(x) = a$ имеет ровно один корень на $[0; 1)$ при $a \in (-11; 0]$ и не имеет корней на этом промежутке при остальных $a$. - При $x \in [0; 1)$ функция $f_2(x)$ строго убывает от $f_2(0) = 0$ до $f_2(1) = -3$. Уравнение $f_2(x) = a$ имеет ровно один корень на $[0; 1)$ при $a \in (-3; 0]$ и не имеет корней при остальных $a$. Корни уравнений могут совпадать только если $x^2 - 12x = x^2 - 4x \iff 8x = 0 \iff x = 0$, чему соответствует $a = 0$. - При $a = 0$: $x = 0$ — единственный корень на $[0; 1)$ (подходит). - При $-3 < a < 0$: каждое из уравнений дает по одному корню, корни различны — получаем два корня на $[0; 1)$ (не подходит). - При $-11 < a \le -3$: уравнение $f_1(x) = a$ дает один корень, а $f_2(x) = a$ корней на $[0; 1)$ не имеет — ровно один корень (подходит). - При $a \le -11$ или $a > 0$: корней на $[0; 1)$ нет. Итак, ровно один корень меньше 1 существует при $a \in (-11; -3] \cup \{0\}$. 2. Условие «хотя бы один корень, больший 11,5»: - Для $f_2(x) = x^2 - 4x$: при $x > 11{,}5$ имеем $f_2(x) > f_2(11{,}5) = 11{,}5^2 - 4 \cdot 11{,}5 = 86{,}25$. - Для $f_1(x) = x^2 - 12x$: вершина параболы находится в точке $x_0 = 6$, поэтому при $x \ge 6$ функция строго возрастает. При $x > 11{,}5$ получаем: $$ f_1(x) > f_1(11{,}5) = 11{,}5^2 - 12 \cdot 11{,}5 = 11{,}5 \cdot (-0{,}5) = -5{,}75 $$ Следовательно, хотя бы один корень, больший $11{,}5$, существует тогда и только тогда, когда $a > -5{,}75$ (или $a > 86{,}25$, что уже входит в $a > -5{,}75$). Пересекая оба условия: $$ \begin{cases} a \in (-11; -3] \cup \{0\}, \\ a > -5{,}75 \end{cases} \iff a \in (-5{,}75; -3] \cup \{0\} $$ **Ответ к пункту в:** $a \in (-5{,}75; -3] \cup \{0\}$. --- **г)** Уравнение $|x^2 - 4x + a| = x$ равносильно системе: $$ \begin{cases} x \ge 0, \\ \left[\begin{array}{l} x^2 - 4x + a = x, \\ x^2 - 4x + a = -x \end{array}\right. \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0, \\ \left[\begin{array}{l} a = -x^2 + 5x, \\ a = -x^2 + 3x \end{array}\right. \end{cases} $$ Пусть $g_1(x) = -x^2 + 5x$ и $g_2(x) = -x^2 + 3x$. 1. Условие «ровно один корень, меньший 1»: Корни должны принадлежать промежутку $[0; 1)$. - Функция $g_1(x)$ имеет вершину в точке $x = 2{,}5 > 1$, на $[0; 1)$ она строго возрастает от $g_1(0) = 0$ до $g_1(1) = 4$. При $a \in [0; 4)$ уравнение $g_1(x) = a$ имеет ровно один корень на $[0; 1)$. - Функция $g_2(x)$ имеет вершину в точке $x = 1{,}5 > 1$, на $[0; 1)$ она строго возрастает от $g_2(0) = 0$ до $g_2(1) = 2$. При $a \in [0; 2)$ уравнение $g_2(x) = a$ имеет ровно один корень на $[0; 1)$. Совпадение корней возможно только при $-x^2 + 5x = -x^2 + 3x \iff 2x = 0 \iff x = 0$, то есть при $a = 0$. - При $a = 0$: $x = 0$ — единственный корень на $[0; 1)$ (подходит). - При $0 < a < 2$: оба уравнения имеют по одному корню на $[0; 1)$, корни различны — всего 2 корня (не подходит). - При $2 \le a < 4$: уравнение $g_1(x) = a$ дает один корень на $[0; 1)$, а $g_2(x) = a$ не имеет корней на $[0; 1)$ (так как на этом промежутке $g_2(x) < 2$) — ровно 1 корень (подходит). - При $a < 0$ или $a \ge 4$: корней на $[0; 1)$ нет. Таким образом, ровно один корень, меньший 1, существует при $a \in \{0\} \cup [2; 4)$. 2. Условие «хотя бы один корень, больший 4»: - Для $g_2(x) = -x^2 + 3x$: при $x > 4$ функция принимает значения $g_2(x) < g_2(4) = -4$. - Для $g_1(x) = -x^2 + 5x$: при $x \ge 2{,}5$ функция строго убывает, и $g_1(4) = -16 + 20 = 4$. Значит, при $x > 4$ область значений функции $g_1(x)$ есть интервал $(-\infty; 4)$. Следовательно, при любом $a < 4$ уравнение $g_1(x) = a$ гарантированно имеет корень $x > 4$. Поскольку все найденные значения $a \in \{0\} \cup [2; 4)$ удовлетворяют неравенству $a < 4$, второе условие выполняется автоматически. **Ответ к пункту г:** $a \in \{0\} \cup [2; 4)$.